设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$ 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 $3x - 2y = 0$，$F_1$，$F_2$ 分别是双曲线的左，右焦点，若 $|PF_1| = 3$，则 $|PF_2| =$（ ）

\begin{solution} 双曲线的标准形式中，半实轴为 $a$，半虚轴为 $b$，渐近线为 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$. 题中分母 $y^2$ 的系数给出 $b=3$，而渐近线 $3x-2y=0$ 即 $y=\dfrac32x$，所以 $\dfrac{b}{a}=\dfrac32$，得 $a=2$.

对双曲线上任一点 $P$，有 $\left|PF_1-PF_2\right|=2a=4$. 已知 $PF_1=3$，故 $\left|3-PF_2\right|=4$. 距离必须为正，因此只能取 $PF_2=7$，故选 C. \end{solution}

如果过两点 $A(a,0)$ 和 $B(0,a)$ 的直线与抛物线 $y = x^{2} - 2x - 3$ 没有交点，那么实数 $a$ 的取值范围是______.

\begin{solution} 过 $A(a,0)$，$B(0,a)$ 的直线方程为 $x+y=a$，即 $y=a-x$. 将它与抛物线方程联立，得 $a-x=x^2-2x-3$，整理为 $x^2-x-a-3=0$. 直线与抛物线没有交点，等价于这个关于 $x$ 的方程没有实根，因此判别式满足 $\Delta=(-1)^2-4(-a-3)=4a+13<0$. 所以 $a< -\dfrac{13}{4}$，即 $a\in\left(-\infty,-\dfrac{13}{4}\right)$. \end{solution}