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03不等式★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足
{x⩾1,y⩽2,x−y⩽0,\begin{cases} x \geqslant 1,\\ y \leqslant 2,\\ x - y \leqslant 0, \end{cases}
则 x+yx + y 的最小值是（ ）
\begin{solution} 由 x−y⩽0x-y\leqslant0 得 x⩽yx\leqslant y. 因为 x⩾1x\geqslant1，所以 x+y⩾2x⩾2x+y\geqslant2x\geqslant2. 当 x=y=1x=y=1 时，三个条件均成立，且 x+y=2x+y=2，故最小值为 22. 因此选 C. \end{solution}
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2008 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知直线 mm，nn 和平面 α\alpha，β\beta 满足 m⊥nm \perp n，m⊥αm \perp \alpha，α⊥β\alpha \perp \beta，则（ ）
\begin{solution} 因为 m⊥αm\perp\alpha，所以直线 mm 的方向是平面 α\alpha 的法线方向. 又 m⊥nm\perp n，故直线 nn 的方向平行于平面 α\alpha. 直线 nn 若与平面 α\alpha 有公共点，则 n⊂αn\subset\alpha；否则 n∥αn\parallel\alpha. 因此选 D. \end{solution}
A.
n⊥βn \perp \beta
B.
n∥βn \parallel \beta，或 n⊂βn \subset \beta
C.
n⊥αn \perp \alpha
D.
n∥αn \parallel \alpha，或 n⊂αn \subset \alpha

2008 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
下面不等式成立的是（ ）
\begin{solution} 由于底数都大于 11，有 log⁡32<1\log_3 2<1，且 1=log⁡22<log⁡23<log⁡251=\log_2 2<\log_2 3<\log_2 5. 合并得 log⁡32<log⁡23<log⁡25\log_3 2<\log_2 3<\log_2 5，故选 A. \end{solution}
A.
log⁡32<log⁡23<log⁡25\log_3 2 < \log_2 3 < \log_2 5
B.
log⁡32<log⁡25<log⁡23\log_3 2 < \log_2 5 < \log_2 3
C.
log⁡23<log⁡32<log⁡25\log_2 3 < \log_3 2 < \log_2 5
D.
log⁡23<log⁡25<log⁡32\log_2 3 < \log_2 5 < \log_3 2

2008 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB = 3，AC=2AC = 2，BC=10BC = \sqrt{10}，则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =（ ）
\begin{solution} 由余弦定理，
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos⁡ABC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A
代入 BC=10BC=\sqrt{10}，AB=3AB=3，AC=2AC=2，得 10=9+4−12cos⁡A10=9+4-12\cos A，所以 cos⁡A=14\cos A=\frac14. 因而
AB→⋅AC→=∣AB∣ ∣AC∣cos⁡A=3⋅2⋅14=32\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\,|AC|\cos A =3\cdot2\cdot\frac14=\frac32
故选 D. \end{solution}
A.
−32-\frac{3}{2}
B.
−23-\frac{2}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
32\frac{3}{2}

2008 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
记 (2x+1x)n\left(2x + \frac{1}{x}\right)^{n} 的展开式中第 mm 项的系数为 bmb_{m}，若 b3=2b4b_{3} = 2b_{4}，则 n=n =______.
\begin{solution} 展开式的第 r+1r+1 项为
Cnr(2x)n−r(1x)r=Cnr2n−rxn−2r\mathrm C_n^r(2x)^{n-r}\left(\frac1x\right)^r =\mathrm C_n^r2^{n-r}x^{n-2r}
因此 b3=Cn22n−2b_3=\mathrm C_n^2 2^{n-2}，b4=Cn32n−3b_4=\mathrm C_n^3 2^{n-3}. 由 b3=2b4b_3=2b_4 得
Cn22n−2=2Cn32n−3  ⟺  Cn2=Cn3\mathrm C_n^2 2^{n-2}=2\mathrm C_n^3 2^{n-3} \iff \mathrm C_n^2=\mathrm C_n^3
于是
n(n−1)2=n(n−1)(n−2)6\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)(n-2)}6
从而 n−2=3n-2=3，即 n=5n=5. \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
将圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 沿 xx 轴正向平移 11 个单位后所得到圆 CC，则圆 CC 的方程是______；若过点 (3,0)(3,0) 的直线 ll 和圆 CC 相切，则直线 ll 的斜率为______.
\begin{solution} 圆沿 xx 轴正向平移 11 个单位后，圆心由 (0,0)(0,0) 变为 (1,0)(1,0)，半径不变，所以圆 CC 的方程为 (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1. 过 (3,0)(3,0) 的竖直直线为 x=3x=3，圆心到它的距离为 22，不是切线. 因此其余切线均可设为 y=k(x−3)y=k(x-3)，即 kx−y−3k=0kx-y-3k=0. 直线与圆相切，当且仅当圆心到直线的距离等于半径：
∣k−3k∣k2+1=1  ⟺  2∣k∣k2+1=1  ⟺  k2=13\frac{|k-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=1 \iff \frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}=1 \iff k^2=\frac13
故 k=±33k=\pm\frac{\sqrt3}{3}. \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
甲，乙，丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约. 甲表示只要面试合格就签约. 乙，丙则约定：两人面试都合格就一同签约. 否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是 12\frac{1}{2}，且面试是否合格互不影响. 求：
(1) 至少有 11 人面试合格的概率； (2) 没有人签约的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三人均未面试合格的概率为 (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}，所以至少有 11 人面试合格的概率为 1−18=781-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.
\item 没有人签约时，甲必须面试不合格，且乙、丙不能同时面试合格. 由相互独立性，所求概率为 12[1−(12)2]=38\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]=\frac{3}{8}. \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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