将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 沿 $x$ 轴正向平移 $1$ 个单位后所得到圆 $C$，则圆 $C$ 的方程是______；若过点 $(3,0)$ 的直线 $l$ 和圆 $C$ 相切，则直线 $l$ 的斜率为______.

\begin{solution} 圆沿 $x$ 轴正向平移 $1$ 个单位后，圆心由 $(0,0)$ 变为 $(1,0)$，半径不变，所以圆 $C$ 的方程为 $(x-1)^2+y^2=1$. 过 $(3,0)$ 的竖直直线为 $x=3$，圆心到它的距离为 $2$，不是切线. 因此其余切线均可设为 $y=k(x-3)$，即 $kx-y-3k=0$. 直线与圆相切，当且仅当圆心到直线的距离等于半径： 故 $k=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. \end{solution}