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13
计数原理与组合数学
★★☆☆☆
记
(
2
x
+
1
x
)
n
\left(2x + \frac{1}{x}\right)^{n}
(
2
x
+
x
1
)
n
的展开式中第
m
m
m
项的系数为
b
m
b_{m}
b
m
，若
b
3
=
2
b
4
b_{3} = 2b_{4}
b
3
=
2
b
4
，则
n
=
n =
n
=
______.
\begin{solution} 展开式的第
r
+
1
r+1
r
+
1
项为
C
n
r
(
2
x
)
n
−
r
(
1
x
)
r
=
C
n
r
2
n
−
r
x
n
−
2
r
\mathrm C_n^r(2x)^{n-r}\left(\frac1x\right)^r =\mathrm C_n^r2^{n-r}x^{n-2r}
C
n
r
(
2
x
)
n
−
r
(
x
1
)
r
=
C
n
r
2
n
−
r
x
n
−
2
r
因此
b
3
=
C
n
2
2
n
−
2
b_3=\mathrm C_n^2 2^{n-2}
b
3
=
C
n
2
2
n
−
2
，
b
4
=
C
n
3
2
n
−
3
b_4=\mathrm C_n^3 2^{n-3}
b
4
=
C
n
3
2
n
−
3
. 由
b
3
=
2
b
4
b_3=2b_4
b
3
=
2
b
4
得
C
n
2
2
n
−
2
=
2
C
n
3
2
n
−
3
⟺
C
n
2
=
C
n
3
\mathrm C_n^2 2^{n-2}=2\mathrm C_n^3 2^{n-3} \iff \mathrm C_n^2=\mathrm C_n^3
C
n
2
2
n
−
2
=
2
C
n
3
2
n
−
3
⟺
C
n
2
=
C
n
3
于是
n
(
n
−
1
)
2
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
6
\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)(n-2)}6
2
n
(
n
−
1
)
=
6
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
从而
n
−
2
=
3
n-2=3
n
−
2
=
3
，即
n
=
5
n=5
n
=
5
. \end{solution}
2008 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题
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