甲，乙，丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约. 甲表示只要面试合格就签约. 乙，丙则约定：两人面试都合格就一同签约. 否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$，且面试是否合格互不影响. 求：

(1) 至少有 $1$ 人面试合格的概率； (2) 没有人签约的概率.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三人均未面试合格的概率为 $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$，所以至少有 $1$ 人面试合格的概率为 $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.

\item 没有人签约时，甲必须面试不合格，且乙、丙不能同时面试合格. 由相互独立性，所求概率为 $\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]=\frac{3}{8}$. \end{enumerate} \end{solution}