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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣x>3}A = \{x \mid x > 3\}，B={x∣x−1x−4<0}B = \left\{x \mid \frac{x - 1}{x - 4} < 0\right\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
\begin{solution} 由 x−1x−4<0\dfrac{x-1}{x-4}<0，临界点为 11 和 44；在 (−∞,1)(-\infty,1) 与 (4,+∞)(4,+\infty) 上分子、分母同号，商为正，在 (1,4)(1,4) 上分子、分母异号，商为负，且 x=4x=4 不在定义域内，所以
B=(1,4)B=(1,4)
因此 A∩B=(3,+∞)∩(1,4)=(3,4)A\cap B=(3,+\infty)\cap(1,4)=(3,4)，故选 B. \end{solution}
A.
∅\varnothing
B.
(3,4)(3,4)
C.
(−2,1)(-2,1)
D.
(4,+∞)(4, + \infty)

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，cot⁡A=−125\cot A = -\frac{12}{5}，则 cos⁡A=\cos A =（ ）
\begin{solution} 三角形的内角满足 0<A<π0<A<\pi，而 cot⁡A<0\cot A<0，所以 AA 为钝角，cos⁡A<0\cos A<0，sin⁡A>0\sin A>0. 由
cot⁡A=cos⁡Asin⁡A=−125\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=-\frac{12}{5}
又 sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^{2}A+\cos^{2}A=1，且 sin⁡A>0\sin A>0，故 sin⁡A=513\sin A=\frac{5}{13}，从而 cos⁡A=−1213\cos A=-\frac{12}{13}. 故选 D. \end{solution}
A.
1213\frac{12}{13}
B.
513\frac{5}{13}
C.
−513-\frac{5}{13}
D.
−1213-\frac{12}{13}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=x2x−1y = \frac{x}{2x - 1} 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程为（ ）
\begin{solution} 设 f(x)=x2x−1f(x)=\dfrac{x}{2x-1}，则
f′(x)=(2x−1)−2x(2x−1)2=−1(2x−1)2f'(x)=\frac{(2x-1)-2x}{(2x-1)^2}=-\frac{1}{(2x-1)^2}
所以 f′(1)=−1f'(1)=-1. 曲线在 (1,1)(1,1) 处的切线为 y−1=−(x−1)y-1=-(x-1)，即 x+y−2=0x+y-2=0. 故选 B. \end{solution}
A.
x−y−2=0x - y - 2 = 0
B.
x+y−2=0x + y - 2 = 0
C.
x+4y−5=0x + 4y - 5 = 0
D.
x−4y−5=0x - 4y - 5 = 0

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(2,1)\boldsymbol{a} = (2, 1)，a⋅b=10\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 10，∣a+b∣=52|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 5\sqrt{2}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}| =（ ）
\begin{solution} 由 ∣a∣2=22+12=5|\boldsymbol{a}|^{2}=2^{2}+1^{2}=5，以及
∣a+b∣2=∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^{2}
得 50=5+2×10+∣b∣250=5+2\times10+|\boldsymbol{b}|^{2}，所以 ∣b∣2=25|\boldsymbol{b}|^{2}=25，从而 ∣b∣=5|\boldsymbol{b}|=5. 故选 C. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
55
D.
2525

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡3πa = \log_3 \pi，b=log⁡23b = \log_2 \sqrt{3}，c=log⁡32c = \log_3 \sqrt{2}，则（ ）
\begin{solution} 因为 π>3\pi>3，所以 a=log⁡3π>1a=\log_{3}\pi>1. 又因为 3<2\sqrt{3}<2，所以 b=log⁡23<1b=\log_{2}\sqrt{3}<1，从而 a>ba>b. 此外
b=ln⁡32ln⁡2b=\frac{\ln3}{2\ln2}
又 c=ln⁡22ln⁡3c=\frac{\ln2}{2\ln3}. 且 ln⁡3>ln⁡2>0\ln3>\ln2>0，并且 b−c=(ln⁡3)2−(ln⁡2)22ln⁡2ln⁡3>0b-c=\frac{(\ln3)^2-(\ln2)^2}{2\ln2\ln3}>0，故 b>cb>c. 因此 a>b>ca>b>c，故选 A. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
a>c>ba > c > b
C.
b>a>cb > a > c
D.
b>c>ab > c > a

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲，乙两人从 4 门4\text{ 门}课程中各选修 2 门2\text{ 门}，则甲，乙所选的课程中至少有 1 门1\text{ 门}不相同的选法共有（ ）
\begin{solution} 甲、乙两人各有 C42=6\mathrm C_4^2=6 种选法，因此全部选法有 6×6=366\times6=36 种. 两人所选课程完全相同的选法有 66 种. “至少有 11 门不相同”是排除完全相同的情形，故选法数为 36−6=3036-6=30，故选 C. \end{solution}
A.
6 种6\text{ 种}
B.
12 种12\text{ 种}
C.
30 种30\text{ 种}
D.
36 种36\text{ 种}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(xy−yx)4\left(x\sqrt{y} - y\sqrt{x}\right)^4 的展开式中 x3y3x^3 y^3 的系数为______.
\begin{solution} 展开式通项中，若从四个因式中取出 kk 个 −yx-y\sqrt{x}，则该项为
(−1)kC4kx4−k2y2+k2(-1)^k\mathrm C_4^k x^{4-\frac{k}{2}}y^{2+\frac{k}{2}}
令 4−k2=34-\frac{k}{2}=3，得 k=2k=2，此时 yy 的指数也为 2+k2=32+\frac{k}{2}=3. 因而所求系数为 C42=6\mathrm C_4^2=6. \end{solution}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 a5=5a3a_{5} = 5a_{3}，则 S9S5=\frac{S_{9}}{S_{5}} =______.
\begin{solution} 设首项为 a1a_{1}，公差为 dd. 由 a5=5a3a_{5}=5a_{3}，得 a1+4d=5(a1+2d)a_{1}+4d=5(a_{1}+2d)，即 2a1+3d=02a_{1}+3d=0. 于是 a1=−32da_{1}=-\frac32d，并且
S9=92(2a1+8d)=452dS_{9}=\frac92(2a_{1}+8d)=\frac{45}{2}d
同理，S5=52(2a1+4d)=52dS_{5}=\frac52(2a_{1}+4d)=\frac{5}{2}d. 题目中的比值有意义，故 d≠0d\ne0，从而 S9S5=9\dfrac{S_{9}}{S_{5}}=9. \end{solution}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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