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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 II 为全集，S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3} 是 II 的三个非空子集且 S1∪S2∪S3=IS_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} = I，则下面论断正确的是（ ）
\begin{solution} 由 S1∪S2∪S3=IS_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=I，取补集并利用德 Morgan 定律，得 ∁IS1∩∁IS2∩∁IS3=∁I(S1∪S2∪S3)=∁II=∅\complement_{I}S_{1}\cap\complement_{I}S_{2}\cap\complement_{I}S_{3}=\complement_{I}(S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3})=\complement_{I}I=\varnothing. 因此正确的论断是 \circled3\circled{3}，故选 C. \end{solution}
A.
∁IS1∩(S2∪S3)=∅\complement_{I}S_{1}\cap (S_{2} \cup S_{3}) = \varnothing
B.
S1⊆(∁IS2∩∁IS3)S_{1}\subseteq (\complement_{I}S_{2}\cap \complement_{I}S_{3})
C.
∁IS1∩∁IS2∩∁IS3=∅\complement_{I}S_{1}\cap \complement_{I}S_{2}\cap \complement_{I}S_{3} = \varnothing
D.
S1⊆(∁IS2∪∁IS3)S_{1}\subseteq (\complement_{I}S_{2}\cup \complement_{I}S_{3})

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个与球心距离为 11 的平面截球所得的圆面面积为 π\pi，则球的表面积为（ ）
\begin{solution} 设球的半径为 RR，截得圆面的半径为 rr. 由圆面面积为 π\pi，得 r=1r=1. 设球心为 OO，截面圆心为 HH，并在截面圆周上取一点 R0R_0，则 OH=1OH=1，且 R0H⊥OHR_0H\perp OH，所以在直角三角形 OHR0OHR_0 中，R2=OH2+R0H2=12+12=2R^{2}=OH^{2}+R_0H^{2}=1^{2}+1^{2}=2. 球的表面积为 4πR2=8π4\pi R^{2}=8\pi，故选 B. \end{solution}
A.
82π8\sqrt{2}\pi
B.
8π8\pi
C.
42π4\sqrt{2}\pi
D.
4π4\pi

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1（a>0a > 0）的一条准线与抛物线 y2=−6xy^2 = -6x 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
\begin{solution} 双曲线 x2a2−y2=1\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1 的半焦距满足 c2=a2+1c^{2}=a^{2}+1，离心率为 e=cae=\frac{c}{a}，其准线方程为 x=±ae=±a2cx=\pm\frac{a}{e}=\pm\frac{a^{2}}{c}. 抛物线 y2=−6xy^{2}=-6x 写成 y2=2pxy^{2}=2px，其中 p=−3p=-3，故其准线为 x=−p2=32x=-\frac p2=\frac32. 因而 a2c=32\displaystyle\frac{a^{2}}{c}=\frac32. 令 t=a2t=a^{2}，平方得 t2t+1=94\displaystyle\frac{t^{2}}{t+1}=\frac94，即 4t2−9t−9=04t^{2}-9t-9=0. 由于 t>0t>0，得 t=3t=3，于是 c=2c=2，e=23=233e=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}. 故选 D. \end{solution}
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
D.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 0<a<10 < a < 1，函数 f(x)=log⁡a(a2x−2ax−2)f(x) = \log_a(a^{2x} - 2a^x - 2)，则使 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 取值范围是（ ）
\begin{solution} 令 t=ax>0t=a^{x}>0. 由于 0<a<10<a<1，函数 log⁡au\log_{a}u 的定义域要求 u>0u>0，且 log⁡au<0\log_{a}u<0 等价于 u>1u>1. 因而 f(x)<0  ⟺  a2x−2ax−2>1  ⟺  t2−2t−3>0  ⟺  (t−3)(t+1)>0f(x)<0\iff a^{2x}-2a^{x}-2>1\iff t^{2}-2t-3>0\iff (t-3)(t+1)>0. 因为 t>0t>0，所以 t>3t>3，即 ax>3a^{x}>3. 由 0<a<10<a<1 时指数函数单调递减，得 x<log⁡a3x<\log_{a}3. 这个条件自动保证真数 t2−2t−2>0t^{2}-2t-2>0，故取值范围为 (−∞,log⁡a3)(-\infty,\log_{a}3)，选 C. \end{solution}
A.
f(x)f(x)
B.
(0,+∞)(0, +\infty)
C.
(−∞,log⁡a3)\left(-\infty, \log_a 3\right)
D.
(log⁡a3,+∞)(\log_a 3, +\infty)

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
若正整数 mm 满足 10m−1<2512<10m10^{m-1} < 2^{512} < 10^{m}，则 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.（lg⁡2≈0.3010\lg 2 \approx 0.3010）
\begin{solution} 对不等式取常用对数，得 m−1<512lg⁡2<mm-1<512\lg2<m. 由 lg⁡2≈0.3010\lg2\approx0.3010，有 512lg⁡2≈154.112512\lg2\approx154.112，所以 m−1<154.112<mm-1<154.112<m. 因为 mm 为正整数，故 m=155m=155. \end{solution}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)9\left(2x - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^9 的展开式中，常数项为______.（用数字作答）
\begin{solution} 展开式的通项为 C9k(2x)9−k(−1x)k\displaystyle\mathrm C_{9}^{k}(2x)^{9-k}\left(-\frac1{\sqrt{x}}\right)^{k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 其 xx 的指数为 9−k−k2=9−3k29-k-\frac{k}{2}=9-\frac{3k}{2}. 要得到常数项，须有 9−3k2=09-\frac{3k}{2}=0，故 k=6k=6. 常数项为 C9623(−1)6=84×8=672\displaystyle\mathrm C_{9}^{6}2^{3}(-1)^{6}=84\times8=672. \end{solution}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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