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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)9\left(2x - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^9(2x−x​1​)9 的展开式中,常数项为______.(用数字作答)
\begin{solution} 展开式的通项为 C9k(2x)9−k(−1x)k\displaystyle\mathrm C_{9}^{k}(2x)^{9-k}\left(-\frac1{\sqrt{x}}\right)^{k}C9k​(2x)9−k(−x​1​)k,其中 k=0k=0k=0,111,…\ldots…,999. 其 xxx 的指数为 9−k−k2=9−3k29-k-\frac{k}{2}=9-\frac{3k}{2}9−k−2k​=9−23k​. 要得到常数项,须有 9−3k2=09-\frac{3k}{2}=09−23k​=0,故 k=6k=6k=6. 常数项为 C9623(−1)6=84×8=672\displaystyle\mathrm C_{9}^{6}2^{3}(-1)^{6}=84\times8=672C96​23(−1)6=84×8=672. \end{solution}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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