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14
计数原理与组合数学
★★☆☆☆
(
2
x
−
1
x
)
9
\left(2x - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^9
(
2
x
−
x
1
)
9
的展开式中,常数项为______.(用数字作答)
\begin{solution} 展开式的通项为
C
9
k
(
2
x
)
9
−
k
(
−
1
x
)
k
\displaystyle\mathrm C_{9}^{k}(2x)^{9-k}\left(-\frac1{\sqrt{x}}\right)^{k}
C
9
k
(
2
x
)
9
−
k
(
−
x
1
)
k
,其中
k
=
0
k=0
k
=
0
,
1
1
1
,
…
\ldots
…
,
9
9
9
. 其
x
x
x
的指数为
9
−
k
−
k
2
=
9
−
3
k
2
9-k-\frac{k}{2}=9-\frac{3k}{2}
9
−
k
−
2
k
=
9
−
2
3
k
. 要得到常数项,须有
9
−
3
k
2
=
0
9-\frac{3k}{2}=0
9
−
2
3
k
=
0
,故
k
=
6
k=6
k
=
6
. 常数项为
C
9
6
2
3
(
−
1
)
6
=
84
×
8
=
672
\displaystyle\mathrm C_{9}^{6}2^{3}(-1)^{6}=84\times8=672
C
9
6
2
3
(
−
1
)
6
=
84
×
8
=
672
. \end{solution}
2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题
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