设 $0 < a < 1$，函数 $f(x) = \log_a(a^{2x} - 2a^x - 2)$，则使 $f(x) < 0$ 的 $x$ 取值范围是（ ）

\begin{solution} 令 $t=a^{x}>0$. 由于 $0<a<1$，函数 $\log_{a}u$ 的定义域要求 $u>0$，且 $\log_{a}u<0$ 等价于 $u>1$. 因而 $f(x)<0\iff a^{2x}-2a^{x}-2>1\iff t^{2}-2t-3>0\iff (t-3)(t+1)>0$. 因为 $t>0$，所以 $t>3$，即 $a^{x}>3$. 由 $0<a<1$ 时指数函数单调递减，得 $x<\log_{a}3$. 这个条件自动保证真数 $t^{2}-2t-2>0$，故取值范围为 $(-\infty,\log_{a}3)$，选 C. \end{solution}

若正整数 $m$ 满足 $10^{m-1} < 2^{512} < 10^{m}$，则 $m =\underline{\hspace{2em}}$.（$\lg 2 \approx 0.3010$）

\begin{solution} 对不等式取常用对数，得 $m-1<512\lg2<m$. 由 $\lg2\approx0.3010$，有 $512\lg2\approx154.112$，所以 $m-1<154.112<m$. 因为 $m$ 为正整数，故 $m=155$. \end{solution}