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03
解析几何
★★☆☆☆
圆
x
2
+
y
2
=
1
x^{2} + y^{2} = 1
x
2
+
y
2
=
1
与直线
y
=
k
x
+
2
y = kx + 2
y
=
k
x
+
2
没有公共点的充要条件是（ ）
\begin{solution} 直线可写为
k
x
−
y
+
2
=
0
kx-y+2=0
k
x
−
y
+
2
=
0
，圆心为原点，半径为
1
1
1
. 圆心到直线的距离为
2
k
2
+
1
\dfrac{2}{\sqrt{k^2+1}}
k
2
+
1
2
. 直线与圆没有公共点，当且仅当该距离大于半径，即
2
k
2
+
1
>
1
\dfrac{2}{\sqrt{k^2+1}}>1
k
2
+
1
2
>
1
，所以
k
2
<
3
k^2<3
k
2
<
3
，从而
k
∈
(
−
3
,
3
)
k\in\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)
k
∈
(
−
3
,
3
)
. 当
k
2
=
3
k^2=3
k
2
=
3
时直线与圆相切，不能取等号，故选 B. \end{solution}
A.
k
∈
(
−
2
,
2
)
k \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})
k
∈
(
−
2
,
2
)
B.
k
∈
(
−
3
,
3
)
k \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})
k
∈
(
−
3
,
3
)
C.
k
∈
(
−
∞
,
−
2
)
∪
(
2
,
+
∞
)
k \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)
k
∈
(
−
∞
,
−
2
)
∪
(
2
,
+
∞
)
D.
k
∈
(
−
∞
,
−
3
)
∪
(
3
,
+
∞
)
k \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)
k
∈
(
−
∞
,
−
3
)
∪
(
3
,
+
∞
)
2008 · 辽宁 · 文 · 第 3 题 · 选择题
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