过双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $A$，$B$ 两点，$|AB| =$（ ）

\begin{solution} 双曲线的标准参数满足 $a^{2}=1$，$b^{2}=3$，所以 $c^{2}=a^{2}+b^{2}=4$，右焦点为 $(2,0)$. 两条渐近线为 $y=\pm\sqrt3x$，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=2$.

该直线与两条渐近线的交点为 $A(2,2\sqrt3)$，$B(2,-2\sqrt3)$，因此 $\lvert AB\rvert=4\sqrt3$，故选 D. \end{solution}