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03三角函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出 SS 的值为（ ）
\begin{solution} 程序开始时 k=1k=1. 每次先执行 k=k+1k=k+1，再判断是否有 k>4k>4，因此第一次满足条件时 k=5k=5. 此时输出 S=sin⁡5π6=12S=\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12，故选 D. \end{solution}
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
下列函数中，最小正周期为 π\pi 且图象关于原点对称的函数是（ ）
\begin{solution} 选项 A 中 y=cos⁡(2x+π2)=−sin⁡2xy=\cos\left(2x+\dfrac\pi2\right)=-\sin 2x，其最小正周期为 π\pi，且 f(−x)=−sin⁡(−2x)=sin⁡2x=−f(x)f(-x)=-\sin(-2x)=\sin 2x=-f(x)，图象关于原点对称.
选项 B 中 y=sin⁡(2x+π2)=cos⁡2xy=\sin\left(2x+\dfrac\pi2\right)=\cos2x，虽有最小正周期 π\pi，但它是偶函数而不是奇函数；选项 C 中 f(−x)=−sin⁡2x+cos⁡2x≠−f(x)f(-x)=-\sin2x+\cos2x\ne-f(x)，不关于原点对称；选项 D 可化为 2sin⁡(x+π4)\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)，最小正周期为 2π2\pi. 故选 A. \end{solution}
A.
y=cos⁡(2x+π2)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
B.
y=sin⁡(2x+π2)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x

2015 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
过双曲线 x2−y23=1x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 AA，BB 两点，∣AB∣=|AB| =（ ）
\begin{solution} 双曲线的标准参数满足 a2=1a^{2}=1，b2=3b^{2}=3，所以 c2=a2+b2=4c^{2}=a^{2}+b^{2}=4，右焦点为 (2,0)(2,0). 两条渐近线为 y=±3xy=\pm\sqrt3x，过右焦点且垂直于 xx 轴的直线为 x=2x=2.
该直线与两条渐近线的交点为 A(2,23)A(2,2\sqrt3)，B(2,−23)B(2,-2\sqrt3)，因此 ∣AB∣=43\lvert AB\rvert=4\sqrt3，故选 D. \end{solution}
A.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
B.
232 \sqrt{3}
C.
6
D.
434 \sqrt{3}

2015 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 00，11，22，33，44，55 组成没有重复数字的五位数，其中比 4000040000 大的偶数共有（ ）
\begin{solution} 五位数大于 4000040000，首位只能为 44 或 55.
首位为 44 时，末位只能从 0,20,2 中选取，有 22 种；中间三位从剩下的四个数字中选出并排列，有 A43=24\mathrm A_4^3=24 种，共有 2×24=482\times24=48 个.
首位为 55 时，末位可从 00，22，44 中选取，有 33 种；中间三位仍有 A43=24\mathrm A_4^3=24 种，共有 3×24=723\times24=72 个. 所以总数为 48+72=12048+72=120，故选 B. \end{solution}
A.
144 个144\text{ 个}
B.
120 个120\text{ 个}
C.
96 个96\text{ 个}
D.
72 个72\text{ 个}

2015 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，bb 都是不等于 1 的正数，则 3a>3b>33^{a} > 3^{b} > 3 是“log⁡a3<log⁡b3\log_{a} 3 < \log_{b} 3”的（ ）
\begin{solution} 由 3a>3b>33^{a}>3^{b}>3 及指数函数的单调性，得 a>b>1a>b>1. 当 aa，b>1b>1 时，log⁡a3=ln⁡3ln⁡a\log_a3=\dfrac{\ln3}{\ln a}，故 a>ba>b 等价于 log⁡a3<log⁡b3\log_a3<\log_b3. 因此前一个条件能推出后一个条件.
反之不成立. 例如取 a=12a=\dfrac12，b=2b=2，则 log⁡a3<0<log⁡b3\log_a3<0<\log_b3，但 3a<3b3^a<3^b，前一个条件不成立. 所以前一个条件是后一个条件的充分不必要条件，故选 B. \end{solution}
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x−1)5(2x - 1)^{5} 的展开式中，含 x2x^{2} 项的系数是______
\begin{solution} 二项式展开的通项为 C5k(2x)k(−1)5−k\mathrm C_5^k(2x)^k(-1)^{5-k}. 含 x2x^2 项时 k=2k=2，所以该项的系数为
C52⋅22⋅(−1)3=−40\mathrm C_5^2\cdot2^2\cdot(-1)^3=-40
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
sin⁡15∘+sin⁡75∘\sin 15^{\circ} + \sin 75^{\circ} 的值是______.
\begin{solution} 由和差化积公式，
sin⁡15∘+sin⁡75∘=2sin⁡45∘cos⁡(−30∘)=2⋅22⋅32=62\sin15^{\circ}+\sin75^{\circ}=2\sin45^{\circ}\cos\left(-30^{\circ}\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by = \mathrm{e}^{kx + b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718 \cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192192 小时，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 4848 小时，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是______ 小时.
\begin{solution} 由 y(0)=eb=192y(0)=\mathrm{e}^b=192，y(22)=e22k+b=48y(22)=\mathrm{e}^{22k+b}=48，两式相除得 e22k=14\mathrm{e}^{22k}=\dfrac14. 因此
y(33)=e33k+b=eb(e22k)3322=192(14)32=24y(33)=\mathrm{e}^{33k+b}=\mathrm{e}^b\left(\mathrm{e}^{22k}\right)^{\frac{33}{22}}=192\left(\frac14\right)^{\frac{3}{2}}=24
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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