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05
计数原理与组合数学
★★☆☆☆
在
(
x
2
−
2
x
)
6
\left(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}
(
2
x
−
x
2
)
6
的二项展开式中，
x
2
x^{2}
x
2
的系数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因根式及分母有意义，须有
x
>
0
x>0
x
>
0
. 二项展开式的第
k
+
1
k+1
k
+
1
项为
C
6
k
(
x
2
)
6
−
k
(
−
2
x
)
k
=
C
6
k
(
−
2
)
k
2
6
−
k
x
3
−
k
\mathrm C_6^k \left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{6-k} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^k =\mathrm C_6^k\frac{(-2)^k}{2^{6-k}}x^{3-k}
C
6
k
(
2
x
)
6
−
k
(
−
x
2
)
k
=
C
6
k
2
6
−
k
(
−
2
)
k
x
3
−
k
要得到
x
2
x^2
x
2
，必须有
3
−
k
=
2
3-k=2
3
−
k
=
2
，即
k
=
1
k=1
k
=
1
. 该项的系数为
C
6
1
−
2
2
5
=
−
12
32
=
−
3
8
\mathrm C_6^1\frac{-2}{2^5} =-\frac{12}{32} =-\frac{3}{8}
C
6
1
2
5
−
2
=
−
32
12
=
−
8
3
因此选 C. \end{solution}
A.
−
15
4
-\frac{15}{4}
−
4
15
B.
15
4
\frac{15}{4}
4
15
C.
−
3
8
-\frac{3}{8}
−
8
3
D.
3
8
\frac{3}{8}
8
3
2011 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题
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