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03导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→2(4x2−4−1x−2)=\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(\frac{4}{x^2 - 4} -\frac{1}{x - 2}\right) =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 将分式通分，得
4x2−4−1x−2=4−(x+2)(x−2)(x+2)=−(x−2)(x−2)(x+2)=−1x+2\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{4-(x+2)}{(x-2)(x+2)} =\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{x+2}
其中 x≠2x\ne2，所以约分不改变 x→2x\to2 时的极限. 因此
lim⁡x→2(4x2−4−1x−2)=lim⁡x→2(−1x+2)=−14\displaystyle\lim_{x\to2}\left(\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}\right)=\lim_{x\to2}\left(-\frac{1}{x+2}\right)=-\frac14
故选 B. \end{solution}
A.
−1-1
B.
−14-\frac{1}{4}
C.
14\frac{1}{4}
D.
11

2010 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩾0,x−y+1⩾0,x+y−3⩽0,\begin{cases} y \geqslant 0,\\ x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y - 3 \leqslant 0, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由约束条件得 x⩾y−1x\geqslant y-1，x⩽3−yx\leqslant 3-y，并且 y⩾0y\geqslant0. 由两条关于 xx 的界可知 y−1⩽3−yy-1\leqslant3-y，故 0⩽y⩽20\leqslant y\leqslant2. 固定 yy 时，z=2x+yz=2x+y 随 xx 增大而增大，所以取 x=3−yx=3-y. 此时 z=2(3−y)+y=6−y⩽6z=2(3-y)+y=6-y\leqslant6. 当 y=0y=0，x=3x=3 时满足全部约束且取等号，故最大值为 66，选 C. \end{solution}
A.
−2-2
B.
44
C.
66
D.
88

2010 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=4x+12xf(x) = \frac{4^x + 1}{2^x} 的图象（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 将函数式化为 f(x)=2x+2−xf(x)=2^x+2^{-x}. 因此 f(−x)=2−x+2x=f(x)f(-x)=2^{-x}+2^x=f(x)，所以函数为偶函数，图象关于 yy 轴对称，选 D. \end{solution}
A.
关于原点对称
B.
关于直线 y=xy = x 对称
C.
关于 xx 轴对称
D.
关于 yy 轴对称

2010 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=sin⁡(ωx+φ)y = \sin\left(\omega x + \varphi\right)（ω>0\omega > 0，∣φ∣<π2|\varphi| < \frac{\pi}{2}）的部分图象如图所示. 则（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由图象知，函数在 x=π3x=\frac{\pi}{3} 处取得最大值，因此 ωπ3+φ=π2\omega\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}. 又图象在 x=7π12x=\frac{7\pi}{12} 处过 xx 轴并由正变负，因此 ω7π12+φ=π\omega\frac{7\pi}{12}+\varphi=\pi. 两式相减得 ωπ4=π2\omega\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}，所以 ω=2\omega=2，代回得 φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}，故选 D. \end{solution}
A.
ω=1\omega = 1，φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6}
B.
ω=1\omega = 1，φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}
C.
ω=2\omega = 2，φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6}
D.
ω=2\omega = 2，φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}

2010 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 U={0,1,2,3}U = \{0, 1, 2, 3\}，A={x∈U∣x2+mx=0}A = \{x \in U \mid x^2 + mx = 0\}，若 ∁UA={1,2}\complement_U A = \{1, 2\}，则实数 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −3-3 \end{answer}
\begin{solution} 由 ∁UA={1,2}\complement_U A=\{1,2\}，知 A={0,3}A=\{0,3\}. 对任意实数 mm，02+m⋅0=00^2+m\cdot0=0，所以 0∈A0\in A 自动成立. 又因为 3∈A3\in A，应满足
32+3m=03^2+3m=0
解得 m=−3m=-3. 此时 12−3=−2≠01^2-3=-2\ne0，22−6=−2≠02^2-6=-2\ne0，确有 A={0,3}A=\{0,3\}，故 m=−3m=-3. \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 1625\frac{16}{25}，则该队员每次罚球的命中率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 按高考中重复试验的通常模型，将两次罚球视为相互独立，设每次罚球命中的概率为 pp，则两次都命中的概率为 p2p^2. “至多命中一次”的对立事件是“两次都命中”，所以 1−p2=16251-p^2=\frac{16}{25}，即 p2=925p^2=\frac{9}{25}. 由于概率满足 0⩽p⩽10\leqslant p\leqslant1，故 p=35p=\frac35.
若只按题面“命中率相同”而不补充独立性，则只能得到两次都命中的概率为 925\frac{9}{25}. 设两次命中事件分别为 X1X_1，X2X_2，则 P(X1∩X2∁)=P(X1∁∩X2)=p−925P(X_1\cap X_2^{\complement})=P(X_1^{\complement}\cap X_2)=p-\frac{9}{25}，且 P(X1∁∩X2∁)=1−2p+925P(X_1^{\complement}\cap X_2^{\complement})=1-2p+\frac{9}{25}，非负性只给出 925⩽p⩽1725\frac{9}{25}\leqslant p\leqslant\frac{17}{25}，不能唯一确定 pp. 因此本题答案 35\frac35 采用上述独立重复试验模型. \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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