下列函数中，是奇函数且在 $(0,+\infty)$上单调递增的为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 函数 $y=x^2$ 不是奇函数；函数 $y=x^{-1}$ 虽为奇函数，但在正半轴上单调递减；函数 $y=x^{-\frac12}$ 的定义域不是关于原点对称，且在正半轴上递减. 函数 $y=x^{\frac13}$ 满足 $(-x)^{\frac13}=-x^{\frac13}$，是奇函数，并且在 $(0,+\infty)$ 上单调递增. 故选 B. \end{solution}

已知 $a$ 为实数，函数 $f(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x}$ 是奇函数，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值及取到最小值时所对应的 $x$ 的值.

\begin{solution} 函数定义域为 $\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}$，且 $f(x)=x+a+\frac4x$. 由奇函数条件，对任意 $x\neq0$，有 $f(-x)=-x+a-\frac4x$，而 $-f(x)=-x-a-\frac4x$. 比较两式，得 $a=-a$，所以 $a=0$. 因而在正半轴上 $f(x)=x+\frac4x$.

当 $x>0$ 时，由基本不等式，$x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4$，等号成立的条件是 $x=\frac4x$，即 $x=2$. 所以 $f(x)$ 的最小值为 $4$，此时 $x=2$. \end{solution}

函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段 $ABOCD$，不含 $A(0,1)$， $B(1,1)$， $O(0,0)$， $C(-1,-1)$， $D(0,-1)$ 五个点，若 $f(x)$ 的图像关于原点对称的图形即为 $g(x)$ 的图像，则其中一个函数的解析式可以为______.

\begin{answer} \end{answer}

\begin{solution} 取 $f$ 的图像为线段 $OC$ 与 $AB$ 去掉端点后的部分. 线段 $OC$ 的两个端点为 $(0,0)$、$(-1,-1)$，故其方程为 $y=x$，对应定义域为 $-1<x<0$；线段 $AB$ 的方程为 $y=1$，对应定义域为 $0<x<1$. 因此可取 其图像关于原点对称后为线段 $BO$ 与 $CD$ 去掉端点后的部分，和原图像恰好拼成折线段 $ABOCD$（不含题中五个点），所以该函数符合条件. \end{solution}