已知 $a > 0$，$b > 0$，若 $a + b = 4$，则（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由 $a+b=4$，有 $a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=8$，且当 $a=b=2$ 时取等号，所以选项 A 正确. 另一方面，$\sqrt{ab}$ 在 $a=b$ 时取得最大值；$\frac1a+\frac1b=\frac4{ab}$ 在 $a=b$ 时取得最小值而无最大值；由 $\sqrt a+\sqrt b\leq2\sqrt2$，得 $\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\geq\frac{1}{2\sqrt2}$，其在 $a=b=2$ 时取得最小值，且上确界 $\frac12$ 不取到，因而没有最大值. 故选 A. \end{solution}

已知 $a$ 为实数，函数 $f(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x}$ 是奇函数，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值及取到最小值时所对应的 $x$ 的值.

\begin{solution} 函数定义域为 $\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}$，且 $f(x)=x+a+\frac4x$. 由奇函数条件，对任意 $x\neq0$，有 $f(-x)=-x+a-\frac4x$，而 $-f(x)=-x-a-\frac4x$. 比较两式，得 $a=-a$，所以 $a=0$. 因而在正半轴上 $f(x)=x+\frac4x$.

当 $x>0$ 时，由基本不等式，$x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4$，等号成立的条件是 $x=\frac4x$，即 $x=2$. 所以 $f(x)$ 的最小值为 $4$，此时 $x=2$. \end{solution}