观察下列等式：$1^2=1$；$1^2-2^2=-3$；$1^2-2^2+3^2=6$；$1^2-2^2+3^2-4^2=-10$. 照此规律，第 $n$ 个等式可为______.

\begin{answer} $1^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 记左端前 $n$ 项的和为 $S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^2$. 当 $n=1$ 时，$S_1=1=(-1)^0\dfrac{1\cdot2}{2}$. 假设 $S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2}$，则 $S_{n+1}=S_n+(-1)^n(n+1)^2=(-1)^n\left[-\dfrac{n(n+1)}2+(n+1)^2\right]=(-1)^n\dfrac{(n+1)(n+2)}2$. 由数学归纳法，$S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2$，故所填等式为 $1^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2$. \end{solution}