双曲线 $\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ 的两条渐近线所夹的锐角的大小是______ 弧度. \begin{answer} $\frac{\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 双曲线可写为 $\frac{x^{2}}{(\sqrt3)^{2}}-\frac{y^{2}}{1^{2}}=1$，所以两条渐近线为 $y=\frac{x}{\sqrt3}$ 和 $y=-\frac{x}{\sqrt3}$. 设它们的锐角为 $\theta$，则 $\tan\theta=\left|\dfrac{\frac1{\sqrt3}-(-\frac1{\sqrt3})}{1-\frac13}\right|=\sqrt3$. 因为 $0<\theta<\frac\pi2$，故 $\theta=\frac\pi3$. \end{solution}

以 $A(1, 3)$，$B(-5, 1)$ 为端点的线段的垂直平分线的方程是（ ）

\begin{answer} E \end{answer}

\begin{solution} 线段 $AB$ 的中点为 $M\left(-2,2\right)$，斜率为 $\dfrac{1-3}{-5-1}=\frac13$. 垂直平分线的斜率为 $-3$，所以其方程为 $y-2=-3(x+2)$，即 $3x+y+4=0$. 因此选 E. \end{solution}

已知椭圆的焦点是 $(1, 0)$ 和 $(-3, 0)$，且短半轴长为 3，则椭圆的方程是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 两焦点的中点是椭圆中心 $(-1,0)$，半焦距为 $c=2$. 短半轴长为 $b=3$，故长半轴满足 $a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+4=13$. 长轴在 $x$ 轴上，所以椭圆方程为 $\dfrac{(x+1)^{2}}{13}+\dfrac{y^{2}}9=1$，选 A. \end{solution}