$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 4 + 7 + \cdots + (3n - 2)}{n(n + 1)}$ 的值等于______. \begin{answer} $\frac{3}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 分子是首项为 $1$、公差为 $3$、项数为 $n$ 的等差数列之和，因此 $1+4+7+\cdots+(3n-2)=\frac{n[1+(3n-2)]}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}$. 所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\cdots+(3n-2)}{n(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2(n+1)}=\frac32$. \end{solution}