函数 $y = \sin^{2}(2x)$ 的最小正周期是______. \begin{answer} $\frac{\pi}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 由恒等式 $\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos4x}{2}$，函数的周期由 $\cos4x$ 决定. 其最小正周期 $T$ 满足 $4T=2\pi$，所以 $T=\frac\pi2$. \end{solution}

下列不等式中，成立的是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 因为 $\sin\frac{7\pi}{8}=\sin\frac\pi8$，而 $\frac{3\pi}{8}>\frac\pi8$ 且正弦函数在 $\left(0,\frac\pi2\right)$ 上递增，所以 $\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}$，第一项错. $\cos\frac{3\pi}{8}>0>\cos\frac{7\pi}{8}$，所以第二项错. 两个正弦值均为正，且 $\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}$，取倒数后不等号反向，得到 $\csc\frac{3\pi}{8}<\csc\frac{7\pi}{8}$，第三项对. 又 $\cot\frac{3\pi}{8}>0>\cot\frac{7\pi}{8}$，第四项错；$\tan\frac{3\pi}{8}>0>\tan\frac{7\pi}{8}$，第五项错. 故选第三项. \end{solution}

已知 $180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}$，且 $\sin (270^{\circ} + \alpha) = \frac{4}{5}$，则 $\tan \frac{\alpha}{2} =$（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由 $\sin(270^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha$，题设给出 $\cos\alpha=-\frac45$. 因为 $180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}$，故 $\sin\alpha=-\frac35$. 半角公式给出 $\tan\frac\alpha2=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{-\frac{3}{5}}{1-\frac{4}{5}}=-3$. 因此选第四项. \end{solution}