已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两条渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$，若顶点到渐近线的距离为 $1$，则双曲线方程为______.