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02三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x=\frac45，则 tan⁡2x=\tan 2x=（ ）
\begin{solution} 由 x∈(−π2,0)x\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right) 可知 sin⁡x<0\sin x<0，因此 sin⁡x=−1−cos⁡2x=−35\sin x=-\sqrt{1-\cos ^2x}=-\frac35，从而 tan⁡x=−34\tan x=-\frac34. 所以
tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x=2(−34)1−(−34)2=−247\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan ^2x} =\frac{2\left(-\frac34\right)}{1-\left(-\frac34\right)^2} =-\frac{24}{7}
故选 D. \end{solution}
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 中，已知 a1=13a_1=\frac13，a2+a5=4a_2+a_5=4，an=33a_n=33，则 nn 为（ ）
\begin{solution} 设等差数列的公差为 dd. 由 a2+a5=4a_2+a_5=4，得
(13+d)+(13+4d)=4\left(\frac13+d\right)+\left(\frac13+4d\right)=4
解得 d=23d=\frac23. 因而
an=a1+(n−1)d=13+23(n−1)=2n−13a_n=a_1+(n-1)d=\frac13+\frac23(n-1)=\frac{2n-1}{3}
由 an=33a_n=33，得 2n−13=33\frac{2n-1}{3}=33，所以 n=50n=50，故选 C. \end{solution}
A.
4848
B.
4949
C.
5050
D.
5151

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x)=\begin{cases} 2^{-x}-1,&x\leqslant0,\\ x^{\frac12},&x>0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0)>1，则 x0x_0 的取值范围是（ ）
\begin{solution} 当 x⩽0x\leqslant0 时，f(x)=2−x−1f(x)=2^{-x}-1. 由 f(x)>1f(x)>1，得 2−x>22^{-x}>2，所以 −x>1-x>1，即 x<−1x<-1.
当 x>0x>0 时，f(x)=xf(x)=\sqrt{x}. 由 f(x)>1f(x)>1，得 x>1\sqrt{x}>1，所以 x>1x>1. 综上，x0∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x_0\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)，故选 D. \end{solution}
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x5)=lg⁡xf(x^5)=\lg x，则 f(2)=f(2)=（ ）
\begin{solution} 令 x5=2x^5=2，则 x=25>0x=\sqrt[5]{2}>0. 由题设，
f(2)=f(x5)=lg⁡x=lg⁡25=15lg⁡2f(2)=f(x^5)=\lg x=\lg\sqrt[5]{2}=\frac15\lg2
故选 D. \end{solution}
A.
lg⁡2\lg2
B.
lg⁡32\lg32
C.
lg⁡132\lg\frac1{32}
D.
15lg⁡2\frac15\lg2

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(x+φ)y=\sin(x+\varphi)（0⩽φ⩽π0\leqslant\varphi\leqslant\pi）是 R\mathbf{R} 上的偶函数，则 φ=\varphi=（ ）
\begin{solution} 将函数展开，得
f(x)=sin⁡xcos⁡φ+cos⁡xsin⁡φf(x)=\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi
其中 sin⁡x\sin x 是奇函数，cos⁡x\cos x 是偶函数. 要使 f(x)f(x) 为偶函数，必须有 cos⁡φ=0\cos\varphi=0. 结合 0⩽φ⩽π0\leqslant\varphi\leqslant\pi，得 φ=π2\varphi=\frac\pi2，故选 C. \end{solution}
A.
00
B.
π4\frac\pi4
C.
π2\frac\pi2
D.
π\pi

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
不等式 4x−x2<x\sqrt{4x-x^2}<x 的解集是______.
\begin{solution} 首先由根式有意义，得
4x−x2⩾0⟺0⩽x⩽44x-x^2\geqslant0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\leqslant x\leqslant4
由于左边非负且小于 xx，还必须有 x>0x>0. 此时不等式两边均非负，可以平方，得
4x−x2<x2⟺2x2−4x>0⟺x(x−2)>04x-x^2<x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2-4x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-2)>0
结合 0<x⩽40<x\leqslant4，解得 x∈(2,4]x\in(2,4]. \end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^9 的展开式中 x9x^9 的系数是______.
\begin{solution} 设二项式通项中取 kk 个 −12x-\frac{1}{2x}，则该项为
C9k(x2)9−k(−12x)k=C9k(−12)kx18−3k\mathrm C_9^k(x^2)^{9-k}\left(-\frac{1}{2x}\right)^k =\mathrm C_9^k\left(-\frac12\right)^k x^{18-3k}
要得到 x9x^9，必须满足 18−3k=918-3k=9，所以 k=3k=3. 因此 x9x^9 的系数为
C93(−12)3=84(−18)=−212\mathrm C_9^3\left(-\frac12\right)^3 =84\left(-\frac18\right)=-\frac{21}{2}
\end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，an=3n−1+an−1a_n=3^{n-1}+a_{n-1}（n⩾2n\geqslant2）.
(1) 求 a2a_2，a3a_3； (2) 证明：an=3n−12a_n=\frac{3^n-1}{2}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，a2=31+a1=3+1=4a_2=3^1+a_1=3+1=4，a3=32+a2=9+4=13a_3=3^2+a_2=9+4=13.
\item 当 n⩾2n\geqslant2 时，递推关系可写为 an−an−1=3n−1a_n-a_{n-1}=3^{n-1}. 逐项相加，得
an=a1+∑k=2n(ak−ak−1)=1+∑k=2n3k−1=1+∑j=1n−13ja_n=a_1+\sum_{k=2}^{n}\left(a_k-a_{k-1}\right) =1+\sum_{k=2}^{n}3^{k-1} =1+\sum_{j=1}^{n-1}3^j
等比数列求和得
an=1+3(3n−1−1)3−1=3n−12a_n=1+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=\frac{3^n-1}{2}
当 n=1n=1 时，右式为 3−12=1=a1\frac{3-1}{2}=1=a_1，故结论对所有 n⩾1n\geqslant1 成立. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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