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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^9(x2−2x1​)9 的展开式中 x9x^9x9 的系数是______.
\begin{solution} 设二项式通项中取 kkk 个 −12x-\frac{1}{2x}−2x1​,则该项为
C9k(x2)9−k(−12x)k=C9k(−12)kx18−3k\mathrm C_9^k(x^2)^{9-k}\left(-\frac{1}{2x}\right)^k =\mathrm C_9^k\left(-\frac12\right)^k x^{18-3k}C9k​(x2)9−k(−2x1​)k=C9k​(−21​)kx18−3k
要得到 x9x^9x9,必须满足 18−3k=918-3k=918−3k=9,所以 k=3k=3k=3. 因此 x9x^9x9 的系数为
C93(−12)3=84(−18)=−212\mathrm C_9^3\left(-\frac12\right)^3 =84\left(-\frac18\right)=-\frac{21}{2}C93​(−21​)3=84(−81​)=−221​
\end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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