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13不等式★★☆☆☆
不等式 4x−x2<x\sqrt{4x-x^2}<x 的解集是______.
\begin{solution} 首先由根式有意义，得
4x−x2⩾0⟺0⩽x⩽44x-x^2\geqslant0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\leqslant x\leqslant4
由于左边非负且小于 xx，还必须有 x>0x>0. 此时不等式两边均非负，可以平方，得
4x−x2<x2⟺2x2−4x>0⟺x(x−2)>04x-x^2<x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2-4x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-2)>0
结合 0<x⩽40<x\leqslant4，解得 x∈(2,4]x\in(2,4]. \end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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