数迹
题目列表试卷列表
共找到 10 题
排序：
组题
本页 10 题去组卷
04解析几何★★☆☆☆
若抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px 的焦点与椭圆 x29+y25=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______.
\begin{answer} x=−2x=-2 \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的焦半距满足 c2=9−5=4c^2=9-5=4，故右焦点为 (2,0)(2,0). 对抛物线 y2=2pxy^2=2px，焦点为 (p2,0)\left(\dfrac p2,0\right)，准线为 x=−p2x=-\dfrac p2. 由焦点重合得 p2=2\dfrac p2=2，所以 p=4p=4，准线方程为 x=−2x=-2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

查看答案和解析
06不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足 xy=1xy = 1，则 x2+2y2x^2 + 2y^2 的最小值为______.
\begin{answer} 222\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 由 xy=1xy=1 知 x≠0x\ne0，且 y2=1x2y^2=\dfrac{1}{x^2}. 令 u=x2>0u=x^2>0，则 x2+2y2=u+2u⩾22x^2+2y^2=u+\dfrac{2}{u}\geqslant2\sqrt{2}，其中等号成立当且仅当 u=2u=\sqrt2. 此时可取 x=214x=2^{\frac{1}{4}}、y=2−14y=2^{-\frac{1}{4}}，满足 xy=1xy=1，所以最小值为 222\sqrt2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

查看答案和解析
07立体几何初步★★☆☆☆
在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______.
\begin{answer} 2424 \end{answer}
\begin{solution} 由主视图可知，两个缺口在横向上的宽均为 22，在竖直方向上的高均为 22：大长方形的总宽为 55，中间保留部分的宽为 11，所以两侧缺口的宽为 (5−1)2=2\frac{(5-1)}{2}=2，缺口的高度由图中标注为 22. 由左视图和俯视图可知，两个缺口均贯穿长方体的整个深度，深度为 33. 因此每个被切去的小长方体的体积为 2×3×2=122\times3\times2=12，两个小长方体的体积之和为 2×12=242\times12=24. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

查看答案和解析
08立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 33 倍，则其母线与轴所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）
\begin{answer} arcsin⁡13\arcsin\frac{1}{3} \end{answer}
\begin{solution} 设圆锥底面半径为 r>0r>0，母线长为 ll. 由圆锥侧面积为 πrl\pi rl、底面积为 πr2\pi r^2，且侧面积是底面积的 33 倍，得 πrl=3πr2\pi rl=3\pi r^2，从而 l=3rl=3r. 设母线与轴所成的锐角为 θ\theta. 在圆锥的轴截面中，母线是斜边，底面半径是与 θ\theta 对应的对边，因此 sin⁡θ=rl=13\sin\theta=\dfrac r l=\dfrac13. 由于 0<θ<π20<\theta<\dfrac\pi2，所以 θ=arcsin⁡13\theta=\arcsin\dfrac13. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
11不等式★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)\left(0,1\right) \end{answer}
\begin{solution} 由于含有 x−12=1xx^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}，函数定义域为 x>0x>0. 在此范围内，f(x)<0f(x)<0 等价于 x23<x−12x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}. 两边同乘正数 x12x^{\frac{1}{2}}，得 x76<1x^{\frac{7}{6}}<1，所以 0<x<10<x<1. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
13概率与统计★★☆☆☆
为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天10\text{ 天} 中随机选择 3 天3\text{ 天}进行紧急疏散演练，则选择的 3 天3\text{ 天}恰好为连续 3 天3\text{ 天}的概率是______.（结果用最简分数表示）
\begin{answer} 115\frac{1}{15} \end{answer}
\begin{solution} 从连续十天中任选三天，基本事件总数为 C103=120\mathrm C_{10}^{3}=120. 恰为连续三天时，起始日可以是第 11 天至第 88 天，共有 88 种. 因此所求概率为 8120=115\dfrac{8}{120}=\dfrac1{15}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则“a+b>4a + b > 4”是“a>2a > 2 且 b>2b > 2”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a>2a>2 且 b>2b>2，则 a+b>4a+b>4，所以“a+b>4a+b>4”是“a>2a>2 且 b>2b>2”的必要条件. 但取 a=3a=3、b=2b=2，有 a+b=5>4a+b=5>4，而 b>2b>2 不成立，故不是充分条件，选 B. \end{solution}
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
17平面向量★★☆☆☆
如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，ABAB 是大正方形的一边，PiP_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 是小正方形的其余顶点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_i}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 的不同值的个数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 以 AA 为原点，令 ABAB 方向为纵轴正方向，建立直角坐标系，则 A=(0,0)A=(0,0)、B=(0,2)B=(0,2)，且七个点的纵坐标分别只能为 00、11、22. 对任一点 Pi=(u,v)P_i=(u,v)，有 AB→=(0,2)\overrightarrow{AB}=(0,2)、APi→=(u,v)\overrightarrow{AP_i}=(u,v)，所以 AB→⋅APi→=2v\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_i}=2v. 其不同值为 00、22、44，共 33 个，选 C. \end{solution}
A.
77
B.
55
C.
33
D.
11

2014 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
19立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.
\begin{solution} 设正三棱锥的侧棱长为 ll. 由展开图，P1P_1，BB，P2P_2 共线，且 P1B=BP2=lP_1B=BP_2=l，所以 P1P2=2lP_1P_2=2l. 又因 P2P_2，CC，P3P_3 共线且 P2C=CP3=lP_2C=CP_3=l，有 P2P3=2lP_2P_3=2l；因 P3P_3，AA，P1P_1 共线且 P3A=AP1=lP_3A=AP_1=l，有 P3P1=2lP_3P_1=2l. 因此 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的三边相等.
在展开图中，AA、BB、CC 分别位于外三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 的三边上，且每个点把相应边分成长度均为 ll 的两段，所以 AA、BB、CC 分别是三边的中点. 由三角形中位线定理，ABAB、BCBC、CACA 分别等于外三角形对应边长的一半，即 AB=BC=CA=lAB=BC=CA=l. 底面边长为 22，故 l=2l=2，于是 P1P2=P2P3=P3P1=2l=4P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1=2l=4.
设底面中心为 OO. 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3，所以其外接圆半径为 AO=233=233AO=\dfrac23\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}{3}. 正三棱锥的高 POPO 垂直于底面，且 PA=l=2PA=l=2. 在直角三角形 PAOPAO 中， PO=PA2−AO2=4−43=263PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\dfrac43}=\dfrac{2\sqrt6}{3}.
底面面积为 SABC=12×2×3=3S_{ABC}=\dfrac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3，故三棱锥体积为 V=13SABC⋅PO=13×3×263=223V=\dfrac13S_{ABC}\cdot PO=\dfrac13\times\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★☆☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \dfrac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=4a=4 时，函数定义域为 x≠2x\ne2. 设 y=2x+42x−4y=\dfrac{2^x+4}{2^x-4}，则 y(2x−4)=2x+4y(2^x-4)=2^x+4，所以 (y−1)2x=4(y+1)(y-1)2^x=4(y+1)，即 2x=4(y+1)y−12^x=\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 因而 x=log⁡24(y+1)y−1x=\log_2\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 当 0<2x<40<2^x<4 时，y<−1y<-1；当 2x>42^x>4 时，y>1y>1，所以值域为 (−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). 交换自变量与因变量，得 f−1(x)=log⁡24x+4x−1f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{4x+4}{x-1}，定义域为 x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \item 当 a=0a=0 时，f(x)=1f(x)=1，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以是偶函数. 当 a=1a=1 时，定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−2x+12x−1=−f(x)f(-x)=\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\dfrac{1+2^x}{1-2^x}=-\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x)，所以是奇函数. 当 a>0a>0 且 a≠1a\ne1 时，定义域为 R\{log⁡2a}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{\log_2a\}，被排除的点不为 00，定义域不关于原点对称，因而既不是奇函数也不是偶函数. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析