若 $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}$，则满足 $f(x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $\left(0,1\right)$ \end{answer}

\begin{solution} 由于含有 $x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}$，函数定义域为 $x>0$. 在此范围内，$f(x)<0$ 等价于 $x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$. 两边同乘正数 $x^{\frac{1}{2}}$，得 $x^{\frac{7}{6}}<1$，所以 $0<x<1$. \end{solution}

设常数 $a \geqslant 0$，函数 $f(x) = \dfrac{2^x + a}{2^x - a}$.

(1) 若 $a = 4$，求函数 $y = f(x)$ 的反函数 $y = f^{-1}(x)$； (2) 根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f(x)$ 的奇偶性，并说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=4$ 时，函数定义域为 $x\ne2$. 设 $y=\dfrac{2^x+4}{2^x-4}$，则 $y(2^x-4)=2^x+4$，所以 $(y-1)2^x=4(y+1)$，即 $2^x=\dfrac{4(y+1)}{y-1}$. 因而 $x=\log_2\dfrac{4(y+1)}{y-1}$. 当 $0<2^x<4$ 时，$y<-1$；当 $2^x>4$ 时，$y>1$，所以值域为 $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. 交换自变量与因变量，得 $f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{4x+4}{x-1}$，定义域为 $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. \item 当 $a=0$ 时，$f(x)=1$，定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(-x)=f(x)$，所以是偶函数. 当 $a=1$ 时，定义域为 $\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}$，且 $f(-x)=\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\dfrac{1+2^x}{1-2^x}=-\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x)$，所以是奇函数. 当 $a>0$ 且 $a\ne1$ 时，定义域为 $\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{\log_2a\}$，被排除的点不为 $0$，定义域不关于原点对称，因而既不是奇函数也不是偶函数. \end{enumerate} \end{solution}