若实数 $x$，$y$ 满足 $xy = 1$，则 $x^2 + 2y^2$ 的最小值为______.

\begin{answer} $2\sqrt{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $xy=1$ 知 $x\ne0$，且 $y^2=\dfrac{1}{x^2}$. 令 $u=x^2>0$，则 $x^2+2y^2=u+\dfrac{2}{u}\geqslant2\sqrt{2}$，其中等号成立当且仅当 $u=\sqrt2$. 此时可取 $x=2^{\frac{1}{4}}$、$y=2^{-\frac{1}{4}}$，满足 $xy=1$，所以最小值为 $2\sqrt2$. \end{solution}

若 $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}$，则满足 $f(x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $\left(0,1\right)$ \end{answer}

\begin{solution} 由于含有 $x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}$，函数定义域为 $x>0$. 在此范围内，$f(x)<0$ 等价于 $x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$. 两边同乘正数 $x^{\frac{1}{2}}$，得 $x^{\frac{7}{6}}<1$，所以 $0<x<1$. \end{solution}