如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，$AB$ 是大正方形的一边，$P_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$） 是小正方形的其余顶点，则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_i}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$） 的不同值的个数为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 以 $A$ 为原点，令 $AB$ 方向为纵轴正方向，建立直角坐标系，则 $A=(0,0)$、$B=(0,2)$，且七个点的纵坐标分别只能为 $0$、$1$、$2$. 对任一点 $P_i=(u,v)$，有 $\overrightarrow{AB}=(0,2)$、$\overrightarrow{AP_i}=(u,v)$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_i}=2v$. 其不同值为 $0$、$2$、$4$，共 $3$ 个，选 C. \end{solution}