函数 $f(x) = \lg \frac{1-x}{x-4}$ 的定义域为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 对数的真数必须为正，即 $\frac{1-x}{x-4}>0$. 临界点为 $x=1$ 和 $x=4$. 当 $x<1$ 时，分子为正、分母为负；当 $1<x<4$ 时，分子和分母均为负；当 $x>4$ 时，分子为负、分母为正. 因此真数为正的范围是 $1<x<4$，定义域为 $(1,4)$，故选 A. \end{solution}

已知函数 $y = f(x)$ 存在反函数 $y = f^{-1}(x)$，若函数 $y = f(1 + x)$ 的图象经过点 $(3,1)$，则函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图象必经过点______.

\begin{answer} $(1,4)$ \end{answer}

\begin{solution} 函数 $y=f(1+x)$ 的图象经过 $(3,1)$，代入得 反函数图象由原函数图象关于直线 $y=x$ 对称，原图象上的点 $(4,1)$ 对称后变为 $(1,4)$. 因此函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象必经过 $(1,4)$. \end{solution}