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14数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\}{an​} 的前 nnn 项和为 SnS_{n}Sn​,若 S12=21S_{12} = 21S12​=21,则 a2+a5+a8+a11=a_{2} + a_{5} + a_{8} + a_{11} =a2​+a5​+a8​+a11​=______.
\begin{answer} 777 \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的首项为 a1a_1a1​,公差为 ddd,则 ak=a1+(k−1)da_k=a_1+(k-1)dak​=a1​+(k−1)d. 由等差数列前 121212 项和公式,
S12=12(a1+a12)2=6(a1+a12)=21S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+a_{12})=21S12​=212(a1​+a12​)​=6(a1​+a12​)=21
所以
a1+a12=2a1+11d=72a_1+a_{12}=2a_1+11d=\frac{7}{2}a1​+a12​=2a1​+11d=27​
另一方面, a2+a11=2a1+11d=72a_2+a_{11}=2a_1+11d=\frac{7}{2}a2​+a11​=2a1​+11d=27​,a5+a8=2a1+11d=72a_5+a_8=2a_1+11d=\frac{7}{2}a5​+a8​=2a1​+11d=27​. 因此
a2+a5+a8+a11=72+72=7a_2+a_5+a_8+a_{11}=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7a2​+a5​+a8​+a11​=27​+27​=7
\end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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