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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡1−xx−4f(x) = \lg \frac{1-x}{x-4} 的定义域为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 对数的真数必须为正，即 1−xx−4>0\frac{1-x}{x-4}>0. 临界点为 x=1x=1 和 x=4x=4. 当 x<1x<1 时，分子为正、分母为负；当 1<x<41<x<4 时，分子和分母均为负；当 x>4x>4 时，分子为负、分母为正. 因此真数为正的范围是 1<x<41<x<4，定义域为 (1,4)(1,4)，故选 A. \end{solution}
A.
(1,4)(1, 4)
B.
[1,4)[1,4)
C.
(−∞,1)∪(4,+∞)(-\infty, 1) \cup (4, +\infty)
D.
(−∞,1]∪(4,+∞)(-\infty, 1] \cup (4, +\infty)

2007 · 江西 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a11(x+2)11(x^{2} + 1)(2x + 1)^{9} = a_{0} + a_{1}(x + 2) + a_{2}(x + 2)^{2} + \dots +a_{11}(x + 2)^{11}，则 a0+a1+a2+⋯+a11a_0 + a_1 + a_2 + \dots +a_{11} 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令 P(x)=(x2+1)(2x+1)9P(x)=(x^2+1)(2x+1)^9. 题设给出的展开式是在 x+2x+2 的幂次下展开的，令 x+2=1x+2=1，即取 x=−1x=-1，得到
a0+a1+⋯+a11=P(−1)=((−1)2+1)(−2+1)9=2⋅(−1)=−2a_0+a_1+\cdots+a_{11}=P(-1)=\bigl((-1)^2+1\bigr)(-2+1)^9=2\cdot(-1)=-2
故选 A. \end{solution}
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2007 · 江西 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
一袋中装有大小相同，编号分别为 11，22，33，44，55，66，77，88 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 22 次，则取得两个球的编号和不小于 1515 的概率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于每次取球后放回，两个球的编号组成的有序对共有 8×8=648\times8=64 个，且等可能. 和不小于 1515 的有序对只有 (7,8)(7,8)、(8,7)(8,7) 和 (8,8)(8,8)，共 33 个. 所求概率为 364\frac{3}{64}，故选 D. \end{solution}
A.
132\frac{1}{32}
B.
164\frac{1}{64}
C.
332\frac{3}{32}
D.
364\frac{3}{64}

2007 · 江西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S12=21S_{12} = 21，则 a2+a5+a8+a11=a_{2} + a_{5} + a_{8} + a_{11} =______.
\begin{answer} 77 \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的首项为 a1a_1，公差为 dd，则 ak=a1+(k−1)da_k=a_1+(k-1)d. 由等差数列前 1212 项和公式，
S12=12(a1+a12)2=6(a1+a12)=21S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+a_{12})=21
所以
a1+a12=2a1+11d=72a_1+a_{12}=2a_1+11d=\frac{7}{2}
另一方面， a2+a11=2a1+11d=72a_2+a_{11}=2a_1+11d=\frac{7}{2}，a5+a8=2a1+11d=72a_5+a_8=2a_1+11d=\frac{7}{2}. 因此
a2+a5+a8+a11=72+72=7a_2+a_5+a_8+a_{11}=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7
\end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 存在反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，若函数 y=f(1+x)y = f(1 + x) 的图象经过点 (3,1)(3,1)，则函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象必经过点______.
\begin{answer} (1,4)(1,4) \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=f(1+x)y=f(1+x) 的图象经过 (3,1)(3,1)，代入得
f(1+3)=f(4)=1f(1+3)=f(4)=1
反函数图象由原函数图象关于直线 y=xy=x 对称，原图象上的点 (4,1)(4,1) 对称后变为 (1,4)(1,4). 因此函数 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 的图象必经过 (1,4)(1,4). \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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