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03函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=x−1xf(x)=\dfrac{x-1}{x}，则方程 f(4x)=xf(4x)=x 的根是（ ）
\begin{solution} 由函数定义可知 4x≠04x\neq0，即 x≠0x\neq0. 方程化为
4x−14x=x⟺4x−1=4x2⟺4x2−4x+1=0⟺(2x−1)2=0\frac{4x-1}{4x}=x \Longleftrightarrow 4x-1=4x^2 \Longleftrightarrow 4x^2-4x+1=0 \Longleftrightarrow (2x-1)^2=0
所以 x=12x=\dfrac{1}{2}，且满足定义域条件. 故选 D. \end{solution}
A.
−2-2
B.
22
C.
−12-\dfrac{1}{2}
D.
12\dfrac{1}{2}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 M={y∣y=2−x}M=\{y\mid y=2^{-x}\}，P={y∣y=x−1}P=\{y\mid y=\sqrt{x-1}\}，则 M∩P=M\cap P=（ ）
\begin{solution} 当 xx 取遍 R\mathbf{R} 时，2−x2^{-x} 取遍所有正数，所以 M={y∣y>0}M=\{y\mid y>0\}. 由于 x−1⩾0x-1\geqslant0 时 x−1\sqrt{x-1} 可以取到任意非负数，所以 P={y∣y⩾0}P=\{y\mid y\geqslant0\}. 因此
M∩P={y∣y>0}M\cap P=\{y\mid y>0\}
故选 C. \end{solution}
A.
{y∣y>1}\{y\mid y>1\}
B.
{y∣y⩾1}\{y\mid y\geqslant1\}
C.
{y∣y>0}\{y\mid y>0\}
D.
{y∣y⩾0}\{y\mid y\geqslant0\}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07复数★★☆☆☆
设复数 z1=−1+iz_1=-1+\mathrm{i}，z2=12+32iz_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}，则 arg⁡z1z2=\arg\dfrac{z_1}{z_2}=（ ）
\begin{solution} 复数 z1=−1+iz_1=-1+\mathrm{i} 的辐角为 3π4\dfrac{3\pi}{4}，而
z2=cos⁡π3+isin⁡π3z_2=\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}
的辐角为 π3\dfrac{\pi}{3}. 复数商的辐角等于分子的辐角减去分母的辐角，所以
arg⁡z1z2=3π4−π3=5π12\arg\frac{z_1}{z_2}=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{12}
故选 B. \end{solution}
A.
−5π12-\dfrac{5\pi}{12}
B.
5π12\dfrac{5\pi}{12}
C.
7π12\dfrac{7\pi}{12}
D.
13π12\dfrac{13\pi}{12}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvert 和 g(x)=x(2−x)g(x)=x(2-x) 的递增区间依次是（ ）
\begin{solution} 函数 f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvert 在 x⩾0x\geqslant0 时等于 xx，因此在 [0,+∞)[0,+\infty) 上递增；在 (−∞,0](-\infty,0] 上递减.
函数 g(x)=x(2−x)=1−(x−1)2g(x)=x(2-x)=1-(x-1)^2，当 x⩽1x\leqslant1 增大，当 x⩾1x\geqslant1 减小，所以其递增区间为 (−∞,1](-\infty,1]. 故选 C. \end{solution}
A.
(−∞,0](-\infty,0]，(−∞,1](-\infty,1]
B.
(−∞,0](-\infty,0]，[1,+∞)[1,+\infty)
C.
[0,+∞)[0,+\infty)，(−∞,1](-\infty,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)，[1,+∞)[1,+\infty)

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y2=1a^2x^2+b^2y^2=1 与 ax+by2=0ax+by^2=0（a>b>0a>b>0）的曲线大致是（ ）
\begin{solution} 将第一个方程写成
x21a2+y21b2=1\frac{x^2}{\frac{1}{a^2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{b^2}}=1
由于 a>b>0a>b>0，有 1a<1b\frac{1}{a}<\frac{1}{b}，所以它表示长轴在 yy 轴上的椭圆.
第二个方程可化为
y2=−abxy^2=-\frac{a}{b}x
因为 ab>0\frac{a}{b}>0，这是顶点在原点、关于 xx 轴对称并向左开口的抛物线. 因此应选图形 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班新年联欢会原定的 55 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
\begin{solution} 原有 55 个节目排成节目单后，包含开头和结尾在内共有 66 个空位. 两个新节目不相邻，必须分别插入两个不同的空位，因此先从 66 个空位中选出两个，有 C62\mathrm C_6^2 种选法.
两个新节目彼此不同，放入选定的两个空位有 2!2! 种顺序，所以不同插法共有
C62⋅2!=15⋅2=30\mathrm C_6^2\cdot2!=15\cdot2=30
种. 故选 D. \end{solution}
A.
66
B.
1212
C.
1515
D.
3030

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
如图，一个底面半径为 RR 的圆柱形量杯中装有适量的水. 若放入一个半径为 rr 的实心铁球，水面高度恰好升高 rr，则 Rr=\dfrac{R}{r}=______.
\begin{solution} 由题图可知实心铁球放入后完全浸没，因而排开水的体积等于球的体积，即为 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3. 圆柱形量杯的底面积为 πR2\pi R^2，水面升高 rr 所增加的圆柱体积为 πR2r\pi R^2r. 由排水体积相等，得
πR2r=43πr3\pi R^2r=\frac{4}{3}\pi r^3
由于 r>0r>0，约去 πr\pi r 得 R2=43r2R^2=\dfrac{4}{3}r^2，从而
Rr=43=233\frac{R}{r}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
\end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白内.
年龄（岁）30303535404045455050555560606565
舒张压（水银柱/毫米）707073737575787880808383\fillinblank{}8888
\begin{solution} 收缩压一行中，相邻年龄每增加 55 岁，数值依次增加 55，所以 6060 岁对应的收缩压为 135+5=140135+5=140.
舒张压一行的相邻增量按 33，22 交替出现：7070 到 7373 增加 33，再到 7575 增加 22，依此规律，5555 岁的 8383 后应增加 22，所以 6060 岁对应的舒张压为 8585，再增加 33 得到 6565 岁的 8888. 因此两个空依次为 140140，8585. \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解不等式：log⁡2(x2−x−2)>log⁡2(2x−2)\log_{2}(x^2-x-2)>\log_{2}(2x-2).
\begin{solution} 因为对数的真数必须为正数，所以必须同时满足 x2−x−2>0x^2-x-2>0 和 2x−2>02x-2>0. 分别因式分解，得 (x−2)(x+1)>0(x-2)(x+1)>0，从而 x<−1x<-1 或 x>2x>2；又由 2x−2>02x-2>0 得 x>1x>1. 因此定义域为 x>2x>2.
因为底数 2>12>1，对数函数在正数范围内递增，所以原不等式等价于
x2−x−2>2x−2⟺x2−3x>0⟺x(x−3)>0x^2-x-2>2x-2 \Longleftrightarrow x^2-3x>0 \Longleftrightarrow x(x-3)>0
其解为 x<0x<0 或 x>3x>3. 与定义域 x>2x>2 取交集，得 x>3x>3. 所以原不等式的解集为 (3,+∞)(3,+\infty). \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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