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10不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,x⩽4,y⩽5.\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x \leqslant 4,\\ y \leqslant 5. \end{cases}
则 s=y−xs = y - x 的最小值为______.
\begin{answer} −6-6 \end{answer}
\begin{solution} 由 x+y−2⩾0x+y-2\geqslant0 得 y⩾2−xy\geqslant2-x，所以 s=y−x⩾2−2xs=y-x\geqslant2-2x. 又因 x⩽4x\leqslant4，有 2−2x⩾2−8=−62-2x\geqslant2-8=-6，故 s⩾−6s\geqslant-6.
取 x=4x=4，y=−2y=-2，则三个条件均满足，且 s=y−x=−2−4=−6s=y-x=-2-4=-6. 因此 ss 的最小值为 −6-6. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数
f(x)={1x,x<0,(13)x,x⩾0,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 0,\\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 ∣f(x)∣⩾13|f(x)| \geqslant \frac{1}{3} 的解集为______.
\begin{answer} [−3,1][-3,1] \end{answer}
\begin{solution} 当 x<0x<0 时，f(x)=1x<0f(x)=\dfrac1x<0，故 ∣f(x)∣=−1x|f(x)|=-\dfrac1x. 不等式 −1x⩾13-\dfrac1x\geqslant\dfrac13 在 x<0x<0 下等价于 x⩾−3x\geqslant-3，所得解集为 [−3,0)[-3,0).
当 x⩾0x\geqslant0 时，∣f(x)∣=(13)x|f(x)|=\left(\dfrac13\right)^x. 因为底数 13∈(0,1)\dfrac13\in(0,1)，所以 (13)x⩾(13)1\left(\dfrac13\right)^x\geqslant\left(\dfrac13\right)^1 等价于 x⩽1x\leqslant1，所得解集为 [0,1][0,1]. 合并得解集 [−3,1][-3,1]. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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