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14
数列
★★☆☆☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足:
a
4
n
−
3
=
1
a_{4n - 3} = 1
a
4
n
−
3
=
1
,
a
4
n
−
1
=
0
a_{4n - 1} = 0
a
4
n
−
1
=
0
,
a
2
n
=
a
n
a_{2n} = a_{n}
a
2
n
=
a
n
,
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
,则
a
2009
=
a_{2009} =
a
2009
=
______;
a
2014
=
a_{2014} =
a
2014
=
______.
\begin{answer}
1
1
1
,
0
0
0
\end{answer}
\begin{solution} 由
2009
=
4
×
503
−
3
2009=4\times503-3
2009
=
4
×
503
−
3
,代入
a
4
n
−
3
=
1
a_{4n-3}=1
a
4
n
−
3
=
1
得
a
2009
=
1
a_{2009}=1
a
2009
=
1
. 又由
a
2
n
=
a
n
a_{2n}=a_n
a
2
n
=
a
n
,有
a
2014
=
a
1007
a_{2014}=a_{1007}
a
2014
=
a
1007
. 因为
1007
=
4
×
252
−
1
1007=4\times252-1
1007
=
4
×
252
−
1
,代入
a
4
n
−
1
=
0
a_{4n-1}=0
a
4
n
−
1
=
0
得
a
1007
=
0
a_{1007}=0
a
1007
=
0
,所以
a
2014
=
0
a_{2014}=0
a
2014
=
0
. \end{solution}
2009 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题
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