“ $\alpha=\frac{\pi}{6}+2k\pi$”（$k\in\mathbf{Z}$）是“ $\cos2\alpha=\frac{1}{2}$ ”的（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 若 $\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi$，则 $2\alpha=\dfrac\pi3+4k\pi$，从而 $\cos2\alpha=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$，所以前一个条件是后一个条件的充分条件.

反之，若 $\cos2\alpha=\dfrac12$，则 $2\alpha=2n\pi\pm\dfrac\pi3$，即 $\alpha=n\pi\pm\dfrac\pi6$（$n\in\mathbf{Z}$）. 这包含不满足 $\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi$ 的情形，例如 $\alpha=\dfrac{5\pi}{6}$，故前一个条件不是必要条件. 因此它是充分而不必要条件，故选 A. \end{solution}