有四个关于三角函数的命题：$p_1$：$\exists x \in \mathbf{R}$，$\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$；$p_2$：$\exists x$，$y \in \mathbf{R}$，$\sin (x - y) = \sin x - \sin y$；$p_3$：$\forall x \in \left[0,\pi \right]$，$\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \sin x$；$p_4$：$\sin x = \cos y \Rightarrow x + y = \frac{\pi}{2}$. 其中假命题的是（ ）