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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 m=(λ+1,1)\boldsymbol{m} = (\lambda + 1, 1)，n=(λ+2,2)\boldsymbol{n} = (\lambda + 2, 2)，若 (m+n)⊥(m−n)(\boldsymbol{m} + \boldsymbol{n}) \perp (\boldsymbol{m} - \boldsymbol{n})，则 λ=\lambda =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由向量垂直的条件，
(m+n)⋅(m−n)=∣m∣2−∣n∣2=0(\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n})\cdot(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n})=|\boldsymbol{m}|^2-|\boldsymbol{n}|^2=0
于是 (λ+1)2+1=(λ+2)2+4(\lambda+1)^2+1=(\lambda+2)^2+4，即 λ2+2λ+2=λ2+4λ+8\lambda^2+2\lambda+2=\lambda^2+4\lambda+8，解得 λ=−3\lambda=-3. 故选 B. \end{solution}
A.
−4-4
B.
−3-3
C.
−2-2
D.
−1-1

2013 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 f(x)=log⁡2(1+1x)f(x) = \log_2\left(1 + \frac{1}{x}\right) （x>0x > 0）的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x) =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令 y=f(x)=log⁡2(1+1x)y=f(x)=\log_2\left(1+\frac{1}{x}\right)，其中 x>0x>0. 则 2y=1+1x2^y=1+\frac{1}{x}，x=12y−1x=\frac{1}{2^y-1}. 由于 x>0x>0，有 1+1x>11+\frac{1}{x}>1，从而 y>0y>0. 因此反函数的定义域为 x>0x>0，且 f−1(x)=12x−1f^{-1}(x)=\frac{1}{2^x-1}. 故选 A. \end{solution}
A.
12x−1\frac{1}{2^{x} - 1}（x>0x > 0）
B.
12x−1\frac{1}{2^{x} - 1}（x≠0x\neq 0）
C.
2x−12^{x} - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
2x−12^{x} - 1（x>0x > 0）

2013 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 3an+1+an=03a_{n+1} + a_{n} = 0，a2=−43a_{2} = -\frac{4}{3}，则 {an}\{a_{n}\} 的前 10 项和等于（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由递推关系得 an+1=−13ana_{n+1}=-\frac{1}{3}a_n，所以数列 {an}\{a_n\} 是以 −13-\frac{1}{3} 为公比的等比数列. 由 a2=−43a_2=-\frac{4}{3} 得 a1=4a_1=4. 因此前 10 项和为
S10=41−(−13)101−(−13)=3(1−3−10)S_{10}=4\frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{10}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} =3\left(1-3^{-10}\right)
故选 C. \end{solution}
A.
−6(1−3−10)-6(1 - 3^{-10})
B.
19(1−310)\frac{1}{9}(1 - 3^{10})
C.
3(1−3−10)3(1 - 3^{-10})
D.
3(1+3−10)3(1 + 3^{-10})

2013 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10导数及其应用★★☆☆☆
已知曲线 y=x4+ax2+1y = x^4 + ax^2 + 1 在点 (−1,a+2)(-1, a + 2) 处切线的斜率为 8，则 a=a =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 对函数求导，得 y′=4x3+2axy'=4x^3+2ax. 在 x=−1x=-1 处切线斜率为
y′∣x=−1=−4−2ay'\big|_{x=-1}=-4-2a
由题设 −4−2a=8-4-2a=8，解得 a=−6a=-6. 故选 D. \end{solution}
A.
99
B.
66
C.
−9-9
D.
−6-6

2013 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有______ 种.
\begin{answer} 60 \end{answer}
\begin{solution} 先从 6 名选手中选出 1 名一等奖获得者，再从剩下的 5 名中选出 2 名二等奖获得者， 其余 3 人获得三等奖. 因此可能的决赛结果共有
C61C52=6×10=60\mathrm C_6^1\mathrm C_5^2=6\times10=60
种. \end{solution}

2013 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足的约束条件
{x⩾0,x+3y⩾4,3x+y⩽4.\begin{cases} x\geqslant 0,\\ x + 3y\geqslant 4,\\ 3x + y\leqslant 4. \end{cases}
则 z=−x+yz = -x + y 的最小值为______.
\begin{answer} 0 \end{answer}
\begin{solution} 约束条件确定的可行域顶点由边界直线两两相交得到. 当 x=0x=0 时， 由 x+3y=4x+3y=4 和 3x+y=43x+y=4 分别得到顶点 (0,43)\left(0,\frac{4}{3}\right) 和 (0,4)(0,4)； 两条斜边界直线的交点满足 x+3y=4x+3y=4，3x+y=43x+y=4 解得 (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1). 目标函数 z=−x+yz=-x+y 在三个顶点处的值分别为 43\frac{4}{3}，44，00. 因而 zz 的最小值为 00. \end{solution}

2013 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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