函数 $f(x) = \log_2\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ （$x > 0$）的反函数 $f^{-1}(x) =$（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 令 $y=f(x)=\log_2\left(1+\frac{1}{x}\right)$，其中 $x>0$. 则 $2^y=1+\frac{1}{x}$，$x=\frac{1}{2^y-1}$. 由于 $x>0$，有 $1+\frac{1}{x}>1$，从而 $y>0$. 因此反函数的定义域为 $x>0$，且 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2^x-1}$. 故选 A. \end{solution}