若 $x$，$y$ 满足的约束条件 则 $z = -x + y$ 的最小值为______.

\begin{answer} 0 \end{answer}

\begin{solution} 约束条件确定的可行域顶点由边界直线两两相交得到. 当 $x=0$ 时， 由 $x+3y=4$ 和 $3x+y=4$ 分别得到顶点 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$ 和 $(0,4)$； 两条斜边界直线的交点满足 $x+3y=4$，$3x+y=4$ 解得 $(x,y)=(1,1)$. 目标函数 $z=-x+y$ 在三个顶点处的值分别为 $\frac{4}{3}$，$4$，$0$. 因而 $z$ 的最小值为 $0$. \end{solution}