已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）和椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______.