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22解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=2−t−t2x=2-t-t^2，y=2−3t+t2y=2-3t+t^2（tt 为参数且 t≠1t\ne1），CC 与坐标轴交于 AA，BB 两点.
(1) 求 ∣AB∣|AB|； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 ABAB 的极坐标方程.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，圆 OO 的半径为 22，ABAB 为圆 OO 的直径，PP 为 ABAB 延长线上一点，过 PP 作圆 OO 的切线，切点为 CC. 若 PC=23PC=2\sqrt3，求 BCBC 的长.

2018 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 为半圆 OO 的直径，直线 PCPC 切半圆 OO 于点 CC，AP⊥PCAP\perp PC，PP 为垂足. 求证：
(1) ∠PAC=∠CAB\angle PAC=\angle CAB； (2) AC2=AP⋅ABAC^2=AP\cdot AB.

2017 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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27解析几何★★☆☆☆
如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点 FF 处，已知灯口直径是 24 cm24\mathrm{~cm}，灯深 10 cm10\mathrm{~cm}，求灯泡与反射镜的顶点 OO 的距离.

2016 · 上海 · 春季 · 第 27 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 C1:x=−2C_1: x = -2，圆 C2:(x−1)2+(y−2)2=1C_2: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求 C1C_1，C2C_2 的极坐标方程； (2) 若直线 C3C_3 的极坐标方程为 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}），设 C2C_2 与 C3C_3 的交点为 MM，NN，求 △C2MN\triangle C_2MN 的面积.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的极坐标方程为 ρ2+22ρsin⁡(θ−π4)−4=0\rho^2 + 2\sqrt{2}\rho \sin \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) - 4 = 0，求圆 CC 的半径.

2015 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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20解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的参数方程为
{x=1+3cos⁡t,y=−2+3sin⁡t.\begin{cases} x = 1 + 3\cos t,\\ y = -2 + 3\sin t. \end{cases}
（tt 为参数）. 在极坐标系（与平面直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴非负半轴为极轴）中，直线 ll 的方程为 2ρsin⁡(θ−π4)=m\sqrt{2}\rho\sin \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = m（m∈Rm \in \mathbf{R}）.
(1) 求圆 CC 的普通方程及直线 ll 的直角坐标方程； (2) 设圆心 C′C' 到直线 ll 的距离等于 2，求 mm 的值.

2015 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为
{x=3+12t,y=32t,\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t,\\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ⊙C\odot C 的极坐标方程为 ρ=23sin⁡θ\rho = 2\sqrt{3}\sin \theta.
(1) 写出 ⊙C\odot C 的直角坐标方程； (2) PP 为直线 ll 上一动点，当 PP 到圆心 CC 的距离最小时，求 PP 的直角坐标.

2015 · 陕西 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=1−22t,y=2+22t,\begin{cases} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t,\\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），直线 ll 与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 交于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的长.

2014 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll 的参数方程为
{x=a−2t,y=−4t,\begin{cases} x=a-2t,\\ y=-4t, \end{cases}
（tt 为参数），圆 CC 的参数方程为
{x=4cos⁡θ,y=4sin⁡θ,\begin{cases} x=4\cos\theta,\\ y=4\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 求直线 ll 和圆 CC 的普通方程； (2) 若直线 ll 与圆 CC 有公共点，求实数 aa 的取值范围.

2014 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为 x=t+1x=t+1，y=2ty=2t（tt 为参数），曲线 CC 的参数方程为 x=2tan⁡2θx=2\tan^2\theta，y=2tan⁡θy=2\tan\theta（θ\theta 为参数）. 试求直线 ll 和曲线 CC 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.

2013 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知直线 l:ax+y=1l: ax + y = 1 在矩阵
A=(1201)A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}
对应的变换作用下变为直线 l′:x+by=1l': x + by = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 若点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 在直线 ll 上，且
A(x0y0)=(x0y0)A \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}
，求点 PP 的坐标.

2013 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 AA 的极坐标为 (2,π4)\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)，直线 ll 的极坐标方程为 ρcos⁡(θ−π4)=a\rho \cos \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = a，且点 AA 在直线 ll 上.
(1) 求 aa 的值及直线 ll 的直角坐标方程； (2) 圆 CC 的参数方程为
{x=1+cos⁡α,y=sin⁡α,\begin{cases} x = 1 + \cos \alpha,\\ y = \sin \alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数），试判断直线 ll 与圆 CC 的位置关系.

2013 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，求过椭圆
{x=5cos⁡φ,y=3sin⁡φ,\begin{cases} x=5\cos\varphi,\\ y=3\sin\varphi, \end{cases}
（φ\varphi 为参数）的右焦点，且与直线
{x=4−2t,y=3−t,\begin{cases} x=4-2t,\\ y=3-t, \end{cases}
（tt 为参数）平行的直线的普通方程.

2011 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
设矩阵
M=(a00b)M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}
（其中 a>0a > 0，b>0b > 0）
(1) 若 a=2a = 2，b=3b = 3，求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}； (2) 若曲线 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 在矩阵 MM 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′:x24+y2=1C' : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1，求 aa，bb 的值.

2011 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18解析几何★★☆☆☆
如图，直线 ll：y=x+by = x + b 与抛物线 CC：x2=4yx^2 = 4y 相切于点 AA.
(1) 求实数 bb 的值； (2) 求以点 AA 为圆心，且与抛物线 CC 的准线相切的圆的方程.

2011 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
已知 PP 为半圆
C:{x=cos⁡θ,y=sin⁡θ,C:\begin{cases} x=\cos\theta,\\ y=\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数，0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi）上的点，点 AA 的坐标为 (1,0)(1,0)，OO 为坐标原点，点 MM 在射线 OPOP 上，线段 OMOM 与 CC 的弧 AP^\widehat{AP} 的长度均为 π3\frac{\pi}{3}.
(1) 以 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 MM 的极坐标； (2) 求直线 AMAM 的参数方程.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 与直线 3ρcos⁡θ+4ρsin⁡θ+a=03\rho\cos\theta+4\rho\sin\theta+a=0 相切，求实数 aa 的值.

2010 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知矩阵
M=(1ab1)M = \begin{pmatrix}1 & a\\ b & 1 \end{pmatrix}
，
N=(c20d)N = \begin{pmatrix}c & 2\\ 0 & d \end{pmatrix}
，且
MN=(20−20)MN = \begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix}
.
(1) 求实数 aa，bb，cc，dd 的值； (2) 求直线 y=3xy = 3x 在矩阵 MM 所对应的线性变换下的像的方程.

2010 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以 OO 为极点，xx 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρcos⁡(θ−π3)=1\rho \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 1，MM，NN 分别为 CC 与 xx 轴，yy 轴的交点.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程，并求 MM，NN 的极坐标； (2) 设 MNMN 的中点为 PP，求直线 OPOP 的极坐标方程.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知曲线 CC 的参数方程为 x=t−1tx=\sqrt t-\frac{1}{\sqrt t}，y=3(t+1t)y=3\left(t+\frac1t\right)（tt 为参数，t>0t>0），求曲线 CC 的普通方程.

2009 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll：3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 与圆 CC：
{x=−1+2cos⁡θ,y=2+2sin⁡θ,\begin{cases} x = -1 + 2\cos \theta,\\ y = 2 + 2\sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数），试判断他们的公共点个数.
\begin{solution} 圆CC的圆心为O1=(−1,2)O_1=(-1,2)，半径为22.圆心到直线l:3x+4y−12=0l:3x+4y-12=0的距离为
d=∣3(−1)+4×2−12∣32+42=75<2d=\frac{|3(-1)+4\times2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}<2
因此直线与圆相交于两个不同的公共点，公共点个数为22. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，AA，BB 分别为直线 x+y=2x+y=2 与 xx，yy 轴的交点，CC 为 ABAB 的中点. 若抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）过点 CC，求焦点 FF 到直线 ABAB 的距离.

2008 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设椭圆 4x2+y2=14x^{2} + y^{2} = 1 在矩阵
A=[2001]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
对应的变换下得到曲线 FF，求 FF 的方程.

2008 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
⊙O1\odot O_{1} 和 ⊙O2\odot O_{2} 的极坐标方程分别为 ρ=4cos⁡θ\rho = 4\cos \theta，ρ=−4sin⁡θ\rho = -4\sin \theta.
(1) 把 ⊙O1\odot O_{1} 和 ⊙O2\odot O_{2} 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过 ⊙O1\odot O_{1}，⊙O2\odot O_{2} 交点的直线的直角坐标方程.

2007 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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