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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 个家长和 22 个儿童去郊游爬山，66 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有______.

2025 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (3+x)n(3+x)^n 的二项展开式中，若 x2x^2 的系数是常数项的 55 倍，则 n=‾n=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知花博会有四个不同的场馆 AA，BB，CC，DD，甲，乙两人每人选 22 个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为______.

2021 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知行列式
∣1ab2cd300∣=6\left|\begin{matrix} 1 & a & b\\ 2 & c & d\\ 3 & 0 & 0 \end{matrix}\right|=6
，则
∣abcd∣\left|\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\right|
=______.

2020 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 66 个人挑选 44 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 11 个人，第二天安排 11 个人，第三天安排 22 个人，则共有______ 种安排情况.

2020 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
某三位数密码锁，每位数字在 0∼90\sim9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是______.

2019 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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09概率与统计★★☆☆☆
有编号互不相同的五个砝码，其中 55 克，33 克，11 克砝码各一个，22 克砝码两个. 从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 99 克的概率是______. （结果用最简分数表示）

2018 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3−2x)n\left(\sqrt[3]{x}-\dfrac2x\right)^n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256256，则常数项等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3−2x)n\left(\sqrt[3]{x}-\dfrac2x\right)^n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256256，则常数项等于______.

2016 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲，乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在报名的 33 名男教师和 66 名女教师中，选取 55 人参加义务献血. 要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血. 要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x+1x2)6\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^6 的二项展开式中，常数项等于______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天10\text{ 天} 中随机选择 3 天3\text{ 天} 进行紧急疏散演练. 则选择的 3 天3\text{ 天} 恰好为连续 3 天3\text{ 天} 的概率是______.（结果用最简分数表示）

2014 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天10\text{ 天} 中随机选择 3 天3\text{ 天}进行紧急疏散演练，则选择的 3 天3\text{ 天}恰好为连续 3 天3\text{ 天}的概率是______.（结果用最简分数表示）
\begin{answer} 115\frac{1}{15} \end{answer}
\begin{solution} 从连续十天中任选三天，基本事件总数为 C103=120\mathrm C_{10}^{3}=120. 恰为连续三天时，起始日可以是第 11 天至第 88 天，共有 88 种. 因此所求概率为 8120=115\dfrac{8}{120}=\dfrac1{15}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}. 若 (x2+ax)5\left(x^2+\frac{a}{x}\right)^5 的二项展开式中 x7x^7 项的系数为 −10-10，则 a=a=______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 展开式的第 k+1k+1 项为 C5k(x2)5−k(ax)k=C5kakx10−3k\mathrm C_5^k(x^2)^{5-k}\left(\frac{a}{x}\right)^k =\mathrm C_5^k a^k x^{10-3k}，k=0k=0，11，…\ldots，55. 含 x7x^7 项时 10−3k=710-3k=7，所以 k=1k=1，该项系数为 C51a=5a\mathrm C_5^1 a=5a. 由 5a=−105a=-10，得 a=−2a=-2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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08概率与统计★★☆☆☆
盒子中装有编号为 11，22，33，44，55，66，77，88，99 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______.（结果用最简分数表示） \begin{answer} 1318\frac{13}{18} \end{answer}
\begin{solution} 任取两个球的总数为
C92=36\mathrm C_9^2=36
乘积为奇数当且仅当两个球的编号都是奇数，故不满足条件的取法有
C52=10\mathrm C_5^2=10
因此乘积为偶数的取法有 36−10=2636-10=26 种，所求概率为
2636=1318\frac{26}{36}=\frac{13}{18}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}. 若 (x2+ax)5\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^5 的二项展开式中 x7x^7 项的系数为 −10-10，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 C5k(x2)5−k(ax)k=C5kakx10−3k\mathrm C_5^k(x^2)^{5-k}\left(\frac{a}{x}\right)^k=\mathrm C_5^k a^k x^{10-3k}，k=0k=0，11，…\ldots，55. 要得到 x7x^7 项，必须满足 10−3k=710-3k=7，所以 k=1k=1. 此时 x7x^7 项的系数为 C51a=5a\mathrm C_5^1a=5a. 由 5a=−105a=-10，得 a=−2a=-2. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
盒子中装有编号为 11，22，33，44，55，66，77 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______.（结果用最简分数表示）
\begin{answer} 57\frac{5}{7} \end{answer}
\begin{solution} 从 77 个球中任取 22 个，共有 C72=21\mathrm C_7^2=21 种等可能取法. 两球编号之积为奇数，当且仅当两球都是奇数；奇数球有 11，33，55，77 共 44 个，故这种取法有 C42=6\mathrm C_4^2=6 种. 因而积为偶数的取法有 21−6=1521-6=15 种，所求概率为
1521=57\frac{15}{21}=\frac{5}{7}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2x)6\left(x - \frac{2}{x}\right)^6 的二项展开式中，常数项等于______.

2012 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−1x)6\left(x - \frac{1}{x}\right)^{6} 的二项展开式中，常数项等于______.

2012 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是______. （结果用最简分数表示）

2012 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
行列式
∣abcd∣\begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix}
（aa，bb，cc，d∈{−1,1,2}d \in \{-1,1,2\}） 所有可能的值中，最大的是______.

2011 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均为红桃”的概率为______.（结果用最简分数表示）

2010 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
某学校要从 55 名男生和 22 名女生中选出 22 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 ξ\xi 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E(ξ)=E(\xi) =______. （结果用最简分数表示）

2009 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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