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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−yx)(x+y)8\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8 的展开式中 x2y6x^2y^6 的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+y2x)(x+y)5\left( x+\dfrac{y^2}{x} \right)\left( x+y \right)^5 的展开式中 x3y3x^3y^3 的系数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
55
B.
1010
C.
1515
D.
2020

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
设 OO 为正方形 ABCDABCD 的中心，在 OO，AA，BB，CC，DD 中任取 33 点，则取到的 33 点共线的概率为（ ）
A.
15\dfrac{1}{5}
B.
25\dfrac{2}{5}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
45\dfrac{4}{5}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行如图的程序框图，则输出的 n=n=（ ）
A.
1717
B.
1919
C.
2121
D.
2323

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 66 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”. 如图就是一“重卦”. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 33 个阳爻的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
516\dfrac{5}{16}
B.
38\dfrac{3}{8}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
116\dfrac{1}{16}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x−ax)5\left(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}}\right)^5 的展开式中含 x32x^{\frac{3}{2}} 的项的系数为 30，则 a=a =（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
−3-\sqrt{3}
C.
6
D.
−6-6

2015 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(12x−2y)5\left(\frac{1}{2}x - 2y\right)^5 的展开式中 x2y3x^2 y^3 的系数是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 要得到 x2y3x^2y^3，需从五个因式中取两次 x2\frac{x}{2}，取三次 −2y-2y. 因而所求系数为
C53(12)2(−2)3=10⋅14⋅(−8)=−20\mathrm C_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^2(-2)^3 =10\cdot\frac{1}{4}\cdot(-8)=-20
故选 A. \end{solution}
A.
−20-20
B.
−5-5
C.
55
D.
2020

2014 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)6\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答）

2012 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息. 若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A.
10
B.
11
C.
12
D.
15

2010 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 1010 名大学毕业生中选 33 个人担任村长助理，则甲，乙至少有 11 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A.
85
B.
56
C.
49
D.
28

2009 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)3+(1+x)3+(1+x3)3(1 + x)^{3} + (1 + \sqrt{x})^{3} + (1 + \sqrt[3]{x})^{3} 的展开式中，xx 的系数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A.
1414
B.
1616
C.
2020
D.
4848

2009 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
记 (2x+1x)n\left(2x + \frac{1}{x}\right)^{n} 的展开式中第 mm 项的系数为 bmb_{m}，若 b3=2b4b_{3} = 2b_{4}，则 n=n =______.
\begin{solution} 展开式的第 r+1r+1 项为
Cnr(2x)n−r(1x)r=Cnr2n−rxn−2r\mathrm C_n^r(2x)^{n-r}\left(\frac1x\right)^r =\mathrm C_n^r2^{n-r}x^{n-2r}
因此 b3=Cn22n−2b_3=\mathrm C_n^2 2^{n-2}，b4=Cn32n−3b_4=\mathrm C_n^3 2^{n-3}. 由 b3=2b4b_3=2b_4 得
Cn22n−2=2Cn32n−3  ⟺  Cn2=Cn3\mathrm C_n^2 2^{n-2}=2\mathrm C_n^3 2^{n-3} \iff \mathrm C_n^2=\mathrm C_n^3
于是
n(n−1)2=n(n−1)(n−2)6\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)(n-2)}6
从而 n−2=3n-2=3，即 n=5n=5. \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
某外商计划在 44 个候选城市投资 33 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 22 个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A.
1616 种
B.
3636 种
C.
4242 种
D.
6060 种

2006 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (ax−1)5(ax - 1)^5 的展开式中 x3x^3 的系数是 −80-80，则实数 aa 的值是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (ax−1)5(ax-1)^5 的展开式中 x3x^3 的系数是 8080，则实数 aa 的值是（ ）
A.
−2-2
B.
222\sqrt{2}
C.
43\sqrt[3]{4}
D.
22

2006 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
在数字 11，22，33 与符号 ++，−- 五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）
A.
66
B.
1212
C.
1818
D.
2424

2006 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)6(1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^6 的展开式中，x2x^2 项的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 3535 \end{answer}
\begin{solution} 在 (1+x)k(1+x)^k 中，x2x^2 的系数为 Ck2\mathrm C_k^2，所以所求系数为
∑k=26Ck2=C73=35\sum_{k=2}^{6}\mathrm C_k^2=\mathrm C_7^3=35
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)6(1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^6 的展开式中，x2x^2 项的系数是______. （用数字作答）

2005 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x)9\left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{9} 的展开式中的常数项为______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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