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065分计数原理与组合数学★★☆☆☆
把甲，乙，丙，丁等 88 位员工分为 AA，BB 两个技术攻关组，要求每组 44 人，其中甲，乙同组，丙，丁不同组，则分组方案共有（ ）
A.
1010 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2424 种

2026 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分概率与统计★★☆☆☆
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 6060 名学生. 已知该校初中部和高中部分别有 400400 名和 200200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.
(40045)(20015)\dbinom{400}{45}\dbinom{200}{15} 种
B.
(40020)(20040)\dbinom{400}{20}\dbinom{200}{40} 种
C.
(40030)(20030)\dbinom{400}{30}\dbinom{200}{30} 种
D.
(40040)(20020)\dbinom{400}{40}\dbinom{200}{20} 种

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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055分计数原理与组合数学★★☆☆☆
有甲，乙，丙，丁，戊 55 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A.
1212 种
B.
2424 种
C.
3636 种
D.
4848 种

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 5 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 名同学到 33 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 11 个小区，每个小区至少安排 11 名同学，则不同的安排方法共有______种.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，将钢琴上的 1212 个键依次记为 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12}. 设 1≤i<j<k≤121\le i<j<k\le 12. 若 k−j=3k-j=3 且 j−i=4j-i=4，则 aia_i，aja_j，aka_k 为原位大三和弦；若 k−j=4k-j=4 且 j−i=3j-i=3，则称 aia_i，aja_j，aka_k 为原位小三和弦. 用这 1212 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A.
55
B.
88
C.
1010
D.
1515

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 k=0k=0，a=0a=0，则输出的 kk 为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
使 (3x+1xx)n\left(3x + \frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^n（n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}）的展开式中含有常数项的最小的 nn 为（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2013 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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19概率与统计★★☆☆☆
现有 66 道题，其中 44 道甲类题，22 道乙类题，张同学从中任取 22 道题解答. 试求：
(1) 所取的 22 道题都是甲类题的概率； (2) 所取的 22 道题不是同一类题的概率.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
一排99 个座位坐了33 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数（ ）
A.
3×3!3 \times 3!
B.
3×(3!)33 \times (3!)^{3}
C.
(3!)4(3!)^{4}
D.
9!9!

2012 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+x+x2)(x−1x)6(1 + x + x^2)\left(x - \frac{1}{x}\right)^6 的展开式中的常数项为______.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
如果执行下图所示的程序框图，输入 n=6n=6，m=4m=4，那么输出的 pp 等于（ ）
A.
720
B.
360
C.
240
D.
120

2010 · 辽宁 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 55 名男医生，44 名女医生中选 33 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男，女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A.
7070 种
B.
8080 种
C.
100100 种
D.
140140 种

2009 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
某店一个月的收入和支出总共记录了 NN 个数据 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N，其中收入记为正数. 支出记为负数. 该店用下边的程序框图计算月总收入 SS 和月净盈利 VV，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）
A.
A>0A > 0，V=S−TV = S - T
B.
A<0A < 0，V=S−TV = S - T
C.
A>0A > 0，V=S+TV = S + T
D.
A<0A < 0，V=S+TV = S + T

2009 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
一个坛子里有编号为 11，22，…\ldots，1212 的 1212 个大小相同的球，其中 11 到 66 号球是红球，其余的是黑球.若从中任取 22 个球，则取到的都是红球，且至少有 11 个球的号码是偶数的概率为（ ）
A.
122\frac{1}{22}
B.
111\frac{1}{11}
C.
322\frac{3}{22}
D.
211\frac{2}{11}

2007 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10概率与统计★★☆☆☆
一个坛子里有编号为 11，22，⋯\cdots，1212 的 1212 个大小相同的球，其中 11 到 66 号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 11 个球的号码是偶数的概率为（ ）
A.
122\frac{1}{22}
B.
111\frac{1}{11}
C.
322\frac{3}{22}
D.
211\frac{2}{11}

2007 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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03概率与统计★★☆☆☆
设袋中有 8080 个红球，2020 个白球，若从袋中任取 1010 个球，则其中恰有 66 个红球的概率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 从 100100 个球中任取 1010 个球的取法数为 C10010\mathrm C_{100}^{10}. 恰有 66 个红球时，需从 8080 个红球中取 66 个，并从 2020 个白球中取 44 个，故所求概率为 C806C204C10010\dfrac{\mathrm C_{80}^{6}\mathrm C_{20}^{4}}{\mathrm C_{100}^{10}}， 对应选项 D. \end{solution}
A.
C804⋅C106C10010\frac{\mathrm C_{80}^{4}\cdot \mathrm C_{10}^{6}}{\mathrm C_{100}^{10}}
B.
C806⋅C104C10010\frac{\mathrm C_{80}^{6}\cdot \mathrm C_{10}^{4}}{\mathrm C_{100}^{10}}
C.
C804⋅C206C10010\frac{\mathrm C_{80}^{4}\cdot \mathrm C_{20}^{6}}{\mathrm C_{100}^{10}}
D.
C806⋅C204C10010\frac{\mathrm C_{80}^{6}\cdot \mathrm C_{20}^{4}}{\mathrm C_{100}^{10}}

2005 · 辽宁 · 第 3 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x12−2x−12)n\left(x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}\right)^{n} 的展开式中常数项是______.
\begin{answer} 若 n=2kn=2k（kk 为非负整数），常数项为 (−2)kC2kk(-2)^k\mathrm C_{2k}^{k}；若 nn 为奇数，则无常数项. \end{answer}
\begin{solution} 展开式的第 k+1k+1 项为
Cnk(x12)n−k(−2x−12)k=Cnk(−2)kxn−2k2\mathrm C_n^k\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{n-k}\left(-2x^{-\frac{1}{2}}\right)^k =\mathrm C_n^k(-2)^k x^{\frac{n-2k}{2}}
要得到常数项，必须有 n−2k2=0\frac{n-2k}{2}=0，即 k=n2k=\frac n2. 因此，只有当 n=2kn=2k 为偶数时才有常数项，其系数为 (−2)kC2kk(-2)^k\mathrm C_{2k}^{k}；当 nn 为奇数时不存在满足条件的整数 kk，所以没有常数项. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 13 题 · 填空题

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