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065分计数原理与组合数学★★☆☆☆
把甲，乙，丙，丁等 88 位员工分为 AA，BB 两个技术攻关组，要求每组 44 人，其中甲，乙同组，丙，丁不同组，则分组方案共有（ ）
A.
1010 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2424 种

2026 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分概率与统计★★☆☆☆
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 6060 名学生. 已知该校初中部和高中部分别有 400400 名和 200200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.
(40045)(20015)\dbinom{400}{45}\dbinom{200}{15} 种
B.
(40020)(20040)\dbinom{400}{20}\dbinom{200}{40} 种
C.
(40030)(20030)\dbinom{400}{30}\dbinom{200}{30} 种
D.
(40040)(20020)\dbinom{400}{40}\dbinom{200}{20} 种

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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055分计数原理与组合数学★★☆☆☆
有甲，乙，丙，丁，戊 55 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A.
1212 种
B.
2424 种
C.
3636 种
D.
4848 种

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 5 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 名同学到 33 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 11 个小区，每个小区至少安排 11 名同学，则不同的安排方法共有______种.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，将钢琴上的 1212 个键依次记为 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12}. 设 1≤i<j<k≤121\le i<j<k\le 12. 若 k−j=3k-j=3 且 j−i=4j-i=4，则 aia_i，aja_j，aka_k 为原位大三和弦；若 k−j=4k-j=4 且 j−i=3j-i=3，则称 aia_i，aja_j，aka_k 为原位小三和弦. 用这 1212 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A.
55
B.
88
C.
1010
D.
1515

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 k=0k=0，a=0a=0，则输出的 kk 为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x3+12x)5\left(x^{3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{5} 的展开式中 x8x^{8} 的系数是______. （用数字作答）
\begin{answer} 52\frac{5}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设通项中取 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} 的因子数为 kk，则该项为
C5k(x3)5−k(12x)k\mathrm C_5^k\left(x^3\right)^{5-k}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^k
其中 xx 的指数为 3(5−k)−k2=15−7k23(5-k)-\frac{k}{2}=15-\frac{7k}{2}. 令其等于 88，得 k=2k=2. 因此所求系数为
C52(12)2=52\mathrm C_5^2\left(\frac12\right)^2=\frac{5}{2}
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若甲，乙，丙三人随机地站成一排，则甲，乙两人相邻而站的概率为______. \begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer} \begin{solution} 三人的全排列共有 3!=63!=6 种. 把甲、乙看成一个整体时，整体与丙有 2!2! 种排法，甲、乙在整体内还有 2!2! 种次序，所以甲乙相邻的排法有
2!×2!=42!\times2!=4
种. 因此所求概率为
46=23\frac46=\frac23
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+12x)8\left(\sqrt{x} +\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^8 的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 Tr+1=C8r(x)8−r(12x)r=C8r2−rx4−rT_{r+1}=\mathrm C_{8}^{r}(\sqrt{x})^{8-r}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{r} =\mathrm C_{8}^{r}2^{-r}x^{4-r}，r=0r=0，11，…\ldots，88 常数项要求 4−r=04-r=0，所以 r=4r=4. 因此常数项为
C842−4=7016=358\mathrm C_{8}^{4}2^{-4}=\frac{70}{16}=\frac{35}{8}
故选 B. \end{solution}
A.
3516\frac{35}{16}
B.
358\frac{35}{8}
C.
354\frac{35}{4}
D.
105105

2012 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+3x)n(1 + 3x)^{n} （其中 n∈Nn\in \mathbf{N} 且 n⩾6n\geqslant 6 ）的展开式中 x5x^{5} 与 x6x^{6} 的系数相等，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式中 x5x^5 的系数为 Cn535\mathrm C_n^5 3^5，x6x^6 的系数为 Cn636\mathrm C_n^6 3^6. 由题设，得 Cn535=Cn636\mathrm C_n^5 3^5=\mathrm C_n^6 3^6，即 1=3Cn6Cn5=3⋅n−561=3\dfrac{\mathrm C_n^6}{\mathrm C_n^5}=3\cdot\dfrac{n-5}{6}. 因而 n=7n=7，故选 B. \end{solution}
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2011 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
从甲，乙等1010位同学中任选33位去参加某项活动，则所选33位中有甲但没有乙的概率为______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+2x)8\left(x^{2} + \frac{2}{x}\right)^{8} 的展开式中 x4x^{4} 的系数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为从 8 个因式中选 kk 个取 2x\frac{2}{x}，其余取 x2x^{2}，即
C8k(x2)8−k(2x)k=C8k2kx16−3k\mathrm C_{8}^{k}(x^{2})^{8-k}\left(\frac{2}{x}\right)^{k} =\mathrm C_{8}^{k}2^{k}x^{16-3k}
要得到 x4x^{4}，必须有 16−3k=416-3k=4，故 k=4k=4. 所求系数为
C8424=70×16=1120\mathrm C_{8}^{4}2^{4}=70\times16=1120
因此选 D. \end{solution}
A.
16
B.
70
C.
560
D.
1120

2009 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
55 个人站成一排，其中甲，乙两人不相邻的排法有______种. （用数字作答）

2009 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从编号为 11，22，…\ldots，1010 的 1010 个大小相同的球中任取 44 个，则所取 44 个球的最大号码是 66 的概率为（ ）
A.
184\frac{1}{84}
B.
121\frac{1}{21}
C.
25\frac{2}{5}
D.
35\frac{3}{5}

2008 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+1x)n\left(x + \frac{1}{x}\right)^n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
120120

2007 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
从 55 张 100 元100\text{ 元}，33 张 200 元200\text{ 元}，22 张 300 元300\text{ 元}的奥运预赛门票中任取 33 张，则所取 33 张中至少有 22 张价格相同的概率为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
79120\frac{79}{120}
C.
34\frac{3}{4}
D.
2324\frac{23}{24}

2007 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
某校要求每位学生从 77 门课程中选修 44 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有______ 种. （用数字作答）

2007 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (3x−1x)n\left(3\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n} 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）
A.
−540-540
B.
−162-162
C.
162162
D.
540540

2006 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
将 55 名实习教师分配到高一年级的 33 个班实习，每班至少 11 名，最多 22 名，则不同的分配方案有（ ）
A.
30 种30\text{ 种}
B.
90 种90\text{ 种}
C.
180 种180\text{ 种}
D.
270 种270\text{ 种}

2006 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+2x)n(1 + 2x)^{n} 展开式中含 x3x^{3} 项的系数等于含 xx 项的系数的88 倍，则 nn 等于（ ）
A.
55
B.
77
C.
99
D.
1111

2005 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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15概率与统计★★☆☆☆
若 1010 把钥匙中只有 22 把能打开某锁，则从中任取 22 把能将该锁打开的概率为______.

2005 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若在 (1+ax)5(1+ax)^5 的展开式中 x3x^3 的系数为 −80-80，则 a=a=______.

2004 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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