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16概率与统计★★☆☆☆
某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1A_1，A2A_2，A3A_3 和 3 个欧洲国家 B1B_1，B2B_2，B3B_3 中选择 2 个国家去旅游.
(1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1A_1 但不包括 B1B_1 的概率.

2017 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
现有 66 道题，其中 44 道甲类题，22 道乙类题，张同学从中任取 22 道题解答. 试求：
(1) 所取的 22 道题都是甲类题的概率； (2) 所取的 22 道题不是同一类题的概率.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高（单位：米\text{米}）及体重指标（单位：千克/米2\text{千克}/\text{米}^{2}）如下表所示：
(1) 从该小组身高低于 1.801.80 的同学中任选 22 人，求选到的 22 人身高都在 1.781.78 以下的概率； (2) 从该小组同学中任选 22 人，求选到的 22 人的身高都在 1.701.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)[18.5, 23.9) 中的概率.

2013 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 11，22，33；蓝色卡片两张，标号分别为 11，22.
(1) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (2) 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.

2012 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16计数原理与组合数学★★☆☆☆
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料. 若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格. 假设此人对 AA 和 BB 两种饮料没有鉴别能力.
(1) 求此人被评为优秀的概率； (2) 求此人被评为良好及以上的概率.

2011 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两校各有 3 名教师报名支教. 其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女.
(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率； (2) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.

2011 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
有编号为 A1A_1，A2A_2，⋯\cdots，A10A_{10} 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm\mathrm{cm}），得到下面数据：
其中直径在区间 [1.48,1.52][1.48,1.52] 内的零件为一等品.
(1) 从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2) 从一等品零件中，随机抽取 2 个.
(i) 用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 个零件直径相等的概率.

2010 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
在添加剂的搭配适用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂. 现有芳香度分别为 00，11，22，33，44，55 的六种添加剂可供选用. 根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.
(1) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 44 的概率. (2) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 33 的概率.

2006 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
从 44 名男生和 22 名女生中任选 33 人参加演讲比赛.
(1) 求所选 33 人都是男生的概率； (2) 求所选 33 人中恰有 11 名女生的概率； (3) 求所选 33 人中至少有 11 名女生的概率.

2004 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+x)n\left(1 + x\right)^n 的展开式中，x3x^3 的系数等于 xx 的系数的 7 倍，求 nn.

1987 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 解答题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字且数字 1 与 2 不相邻的五位数，求这种五位数的个数.

1987 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+x)n(1 + x)^n 的展开式中，x3x^3 的系数等于 xx 的系数的 77 倍，求 nn.

1987 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 解答题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
由数字 11，22，33，44，55 组成没有重复数字且数字 11 与 22 不相邻的五位数，求这种五位数的个数.

1987 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 解答题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (2x3−1x2)5\left(2x^3 - \frac{1}{x^2}\right)^5 展开式中的常数项.

1986 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (2x3−1x2)5\left(2x^3 - \frac{1}{x^2}\right)^5 展开式中的常数项.

1986 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲，乙，丙，丁四个公司承包 88 项工程，甲公司承包 33 项，乙公司承包 11 项，丙，丁两个公司各承包 22 项，问共有多少种承包方式.

1986 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (3x−1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(3x-1)^{6}=a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}，求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0a_{6}+a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0} 的值.
\begin{solution} 令 x=1x=1 代入已知恒等式，左边为 (3−1)6=26=64(3-1)^6=2^6=64，右边为 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0. 因此所求值为 6464. \end{solution}

1985 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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07导数及其应用★★☆☆☆
(1) 已知 y=e−xsin⁡2xy = \mathrm{e}^{-x}\sin 2x，求微分 dy\mathrm{d}y. (2) 一个小组共有 1010 名同学，其中 44 名是女同学，66 名是男同学. 要从小组内选出 33 名代表，其中至少有 11 名女同学，求一共有多少种选法.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由乘积求导法则，
dydx=(e−x)′sin⁡2x+e−x(sin⁡2x)′=−e−xsin⁡2x+2e−xcos⁡2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'\sin 2x+\mathrm{e}^{-x}(\sin 2x)'=-\mathrm{e}^{-x}\sin 2x+2\mathrm{e}^{-x}\cos 2x
因此 dy=e−x(2cos⁡2x−sin⁡2x)dx\mathrm{d}y=\mathrm{e}^{-x}\left(2\cos 2x-\sin 2x\right)\mathrm{d}x. \item 按女同学人数分类. 恰有 11 名女同学时有 C41C62=4×15=60\mathrm C_{4}^{1}\mathrm C_{6}^{2}=4\times15=60 种；恰有 22 名女同学时有 C42C61=6×6=36\mathrm C_{4}^{2}\mathrm C_{6}^{1}=6\times6=36 种；33 名均为女同学时有 C43=4\mathrm C_{4}^{3}=4 种. 所以共有 60+36+4=10060+36+4=100 种选法. \end{enumerate} \end{solution}

1983 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
(1) 求函数 y=x+5log⁡2(36−x2)y = \sqrt{x + 5}\log_2\left(36 - x^2\right) 的定义域. (2) 一个小组共有 1010 名同学，其中 44 名是女同学，66 名是男同学. 要从小组内选出 33 名代表，其中至少有 11 名女同学，求一共有多少种选法.

1983 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 解答题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1) 求 (−1+i)20(-1+\mathrm{i})^{20} 展开式中第 1515 项的数值； (2) 求 y=cos⁡2x3y=\cos^2 \frac{x}{3} 的导数.

1982 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (−1+i)20(-1+\mathrm{i})^{20} 展开式中第 1515 项的数值.

1982 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 解答题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 A，B，C，D 四位候选人中，
(1) 如果选举正，副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2) 如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果.

1981 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1) 写出 (x3−23x5)n\left( \sqrt[3]{x}-\frac{2}{3\sqrt[5]{x}} \right)^n 的展开式的第 (r+1)\left( r+1 \right) 项. (2) 设 AMAM 是直角三角形斜边 BCBC 上的中线，求证：BC2+AC2+AB2=8AM2BC^2+AC^2+AB^2=8AM^2.

1977 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 解答题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (1−2i)5\left(1-2\mathrm{i}\right)^5 的实部.

1962 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (1x3+x)7\left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\sqrt{x} \right)^{7} 的展开式中含 xx 的一次幂的项.

1958 · 河北 · 第 3 题 · 解答题

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