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共找到 39 题
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09复数★★☆☆☆
已知 m>1m>1，对于所有满足 ∣z∣=2|z|=2 的复数 zz，∣z−i∣|z-\mathrm{i}| 的最小值与 ∣z−m∣|z-m| 的最小值相同，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
设复数 z1z_1，z2z_2 满足 ∣z1∣=∣z2∣=2|z_1|=|z_2|=2，z1+z2=3+iz_1+z_2=\sqrt3+\mathrm{i}，则 ∣z1−z2∣=|z_1-z_2|=______.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位，若 a−i2+i\dfrac{a-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} 为实数，则 aa 的值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
a∈Ra\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位，若 a−i2+i\dfrac{a-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} 为实数，则 aa 的值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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05复数★★☆☆☆
已知复数 zz 满足 z+3z=0z+\dfrac3z=0，则 ∣z∣=‾\lvert z\rvert=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，(a+bi)2=3+4i(a+b\mathrm{i})^2=3+4\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 a2+b2=‾a^2+b^2=\underline{\hspace{2em}}，ab=‾ab=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

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10复数★★☆☆☆
若 2+i2+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位）是关于 xx 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0x^2+ax+5=0 的一个虚根，则 a=a=______.

2016 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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03复数★★☆☆☆
设复数 zz 满足 z2=3+4iz^{2}=3+4\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 zz 的模为______.

2015 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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02复数★★☆☆☆
若复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 (z+1z‾)⋅z‾=\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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10复数★★☆☆☆
若复数 zz 满足 ∣z−i∣≤2|z-\mathrm{i}|\le\sqrt2（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 zz 在复平面内所对应的图形的面积为______.

2012 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
若 3+bi1−i=a+bi\frac{3 + bi}{1 - i} = a + bi（aa，bb 为实数，ii 为虚数单位），则 a+b=a + b =______.

2012 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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11复数★★☆☆☆
方程
∣1241xx21−39∣=0\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ 1 & x & x^2 \\ 1 & -3 & 9\end{vmatrix}=0
的解集为______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
已知 (a−i)2=2i(a - \mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，那么实数 a=a =______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 展开左边得 (a−i)2=a2−1−2ai(a-\mathrm{i})^2=a^2-1-2a\mathrm{i}. 与 2i2\mathrm{i} 比较实部和虚部，得到 a2−1=0a^2-1=0 以及 −2a=2-2a=2. 后一个等式给出 a=−1a=-1，且满足前一个等式，故填 −1-1. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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07复数★★☆☆☆
若 zz 是实系数方程 x2+2x+p=0x^{2} + 2x + p = 0 的一个虚根，且 ∣z∣=2|z| = 2，则 p=p =______.

2008 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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11复数★★☆☆☆
设 z1z_{1} 是复数，z2=z1−iz1‾z_{2} = z_{1} - \mathrm{i}\overline{z_1}（其中 z1‾\overline{z_1} 表示 z1z_{1} 的共轭复数），已知 z2z_{2} 的实部是 −1-1，则 z2z_{2} 的虚部为______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，i+2i2+3i3+⋯+8i8=\mathrm{i} + 2\mathrm{i}^2 + 3\mathrm{i}^3 + \cdots + 8\mathrm{i}^8 =______. （用 a+bia + b\mathrm{i} 的形式表示，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）

2007 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
对于非零实数 aa，bb，以下四个命题都成立：
① a+1a≠0a + \frac{1}{a} \neq 0； ② (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2； ③ 若 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|，则 a=±ba = \pm b； ④ 若 a2=aba^2 = ab，则 a=ba = b.
那么，对于非零复数 aa，bb，仍然成立命题的所有序号是______.

2007 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10复数★★☆☆☆
对于非零实数 aa，bb，以下四个命题都成立：
① a+1a≠0a + \frac{1}{a} \neq 0； ② (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2； ③ 若 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|，则 a=±ba = \pm b； ④ 若 a2=aba^2 = ab，则 a=ba = b.
那么，对于非零复数 aa，bb，仍然成立的命题的所有序号是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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02复数★★☆☆☆
若关于 xx 的一元二次实系数方程 x2+px+q=0x^{2}+px+q=0 有一个根为 1+i1+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 q=q=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
复数 z=a+biz = a + b\mathrm{i}，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 b≠0b \neq 0. 若 z2−4bzz^2 - 4bz 是实数，则有序实数对 (a,b)(a, b) 可以是______. （写出一个有序实数对即可）

2007 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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05复数★★☆☆☆
若复数 zz 同时满足 z−z‾=2iz - \overline{z} = 2\mathrm{i}，z‾=iz\overline{z} = \mathrm{i} z （i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z=‾z =\underline{\hspace{2em}}.

2006 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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11复数★★☆☆☆
设 xx，yy 为实数，且 x1−i+y1−2i=51−3i\frac{x}{1 - \mathrm{i}} + \frac{y}{1 - 2\mathrm{i}} = \frac{5}{1 - 3\mathrm{i}}，则 x+y=x + y =______.

2006 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13复数★★☆☆☆
已知复数 z0=3+2iz_0 = 3 + 2\mathrm{i}，复数 zz 满足 z⋅z0=3z+z0z \cdot z_0 = 3z + z_0，则复数 z=z =______.

2005 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
若 z1=a+2iz_1=a+2\mathrm{i}，z2=3−4iz_2=3-4\mathrm{i}，且 z1z2\frac{z_1}{z_2} 为纯虚数，则实数 aa 的值为______.

2005 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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14复数★★☆☆☆
已知复数 zz 与 (z+2)2−8i(z + 2)^{2} - 8\mathrm{i} 均是纯虚数，则 z=z =______.

2004 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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