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共找到 89 题
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03复数★★☆☆☆
已知 (1−i)2z=3+2i\left(1-\mathrm{i}\right)^2z=3+2\mathrm{i}，则 z=z=（ ）
A.
−1−32i-1-\frac{3}{2}\mathrm{i}
B.
−1+32i-1+\frac{3}{2}\mathrm{i}
C.
−32+i-\frac{3}{2}+\mathrm{i}
D.
−32−i-\frac{3}{2}-\mathrm{i}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
设有下面四个命题：
① p1p_1：若复数 zz 满足 1z∈R\dfrac1z\in\mathbf{R}，则 z∈Rz\in\mathbf{R}； ② p2p_2：若复数 zz 满足 z2∈Rz^2\in\mathbf{R}，则 z∈Rz\in\mathbf{R}； ③ p3p_3：若复数 z1z_1，z2z_2 满足 z1z2∈Rz_1z_2\in\mathbf{R}，则 z1=z2‾z_1=\overline{z_2}； ④ p4p_4：若复数 z∈Rz\in\mathbf{R}，则 z‾∈R\overline z\in\mathbf{R}.
其中的真命题为（ ）
A.
p1p_1，p3p_3
B.
p1p_1，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p2p_2，p4p_4

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
若复数 (1−i)(a+i)(1-\mathrm{i})(a+\mathrm{i}) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(-\infty,1)
B.
(−∞,−1)(-\infty,-1)
C.
(1,+∞)(1,+\infty)
D.
(−1,+∞)(-1,+\infty)

2017 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 (x+i)6\left(x+\mathrm{i}\right)^6 的展开式中含 x4x^4 的项为（ ）
\begin{solution} 由二项式定理，
(x+i)6=∑r=06C6rx6−rir(x+\mathrm{i})^6=\sum_{r=0}^{6}\mathrm C_6^r x^{6-r}\mathrm{i}^r
含 x4x^4 的项对应 6−r=46-r=4，即 r=2r=2.因此该项为
C62x4i2=15x4(−1)=−15x4\mathrm C_6^2x^4\mathrm{i}^2=15x^4(-1)=-15x^4
所以选 A. \end{solution}
A.
−15x4-15x^4
B.
15x415x^4
C.
−20ix4-20\mathrm{i} x^4
D.
20ix420\mathrm{i} x^4

2016 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 中至少有一个数是虚数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是虚数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 均为实数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是实数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
若复数 zz 满足 z‾1−i=i\frac{\overline{z}}{1 - \mathrm{i}} = \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =（ ）
A.
1−i1 - \mathrm{i}
B.
1+i1 + \mathrm{i}
C.
−1−i-1 - \mathrm{i}
D.
−1+i-1 + \mathrm{i}

2015 · 山东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 i\mathrm{i} 是虚数单位，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则 “a=b=1a = b = 1” 是 “(a+bi)2=2i(a + b\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}” 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 浙江 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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08复数★★☆☆☆
原命题为“若 z1z_{1}，z2z_{2} 互为共轭复数，则 ∣z1∣=∣z2∣|z_{1}| = |z_{2}|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A.
真，假，真
B.
假，假，真
C.
真，真，假
D.
假，假，假

2014 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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01复数★★☆☆☆
设 i\mathrm{i} 是虚数单位，z‾\overline{z} 是复数 zz 的共轭复数，若 z⋅z‾i+2=2zz \cdot \overline{z}\mathrm{i} + 2 = 2z，则 z=z =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2013 · 安徽 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
若 i(x+yi)=3+4i\mathrm{i} (x + y\mathrm{i}) = 3 + 4\mathrm{i}，xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，则复数 x+yix + y\mathrm{i} 的模是（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2013 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06复数★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2z_{2} 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 选项 A 中，∣z1−z2∣=0\left|z_1-z_2\right|=0 得 z1=z2z_1=z_2，共轭后仍有 z1‾=z2‾\overline{z_1}=\overline{z_2}. 选项 B 两边取共轭即可得到结论；选项 C 中 zizi‾=∣zi∣2z_i\overline{z_i}=\left|z_i\right|^2，所以结论成立. 对选项 D，取 z1=1z_1=1，z2=iz_2=\mathrm{i}，则 ∣z1∣=∣z2∣=1\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1，但 z12=1z_1^2=1，z22=−1z_2^2=-1，结论不成立，故选 D. \end{solution}
A.
若 ∣z1−z2∣=0\left|z_1-z_2\right|=0，则 z1‾=z2‾\overline{z_1}=\overline{z_2}
B.
若 z1=z2‾z_1=\overline{z_2}，则 z1‾=z2\overline{z_1}=z_2
C.
若 ∣z1∣=∣z2∣\left|z_1\right|=\left|z_2\right|，则 z1⋅z1‾=z2⋅z2‾z_1\cdot\overline{z_1}=z_2\cdot\overline{z_2}
D.
若 ∣z1∣=∣z2∣\left|z_1\right|=\left|z_2\right|，则 z12=z22z_1^2=z_2^2

2013 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06复数★★☆☆☆
设 zz 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A.
若 z2⩾0z^{2} \geqslant 0，则 zz 是实数
B.
若 z2<0z^2 < 0，则 zz 是虚数
C.
若 zz 是虚数，则 z2⩾0z^2 \geqslant 0
D.
若 zz 是纯虚数，则 z2<0z^2 < 0

2013 · 陕西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}i 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2b = 2，c=3c = 3
B.
b=−2b = -2，c=3c = 3
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=2b = 2，c=−1c = -1

2012 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}\mathrm{i} 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2,c=3b = 2, c = 3
B.
b=2b = 2，c=−1c = -1
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=−2b = -2，c=3c = 3

2012 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
下列命题中，假命题为（ ）
A.
存在四边相等的四边形不是正方形
B.
z1z_{1}、z2∈Cz_{2}\in\mathbf{C}，z1+z2z_{1}+z_{2} 为实数的充分必要条件是 z1z_{1}、z2z_{2} 互为共轭复数
C.
若 xx、y∈Ry\in\mathbf{R}，且 x+y>2x+y>2，则 xx、yy 至少有一个大于 11
D.
对于任意 n∈N+n\in\mathbf{N}_{+}，Cn0+Cn1+⋯+Cnn\mathrm C_{n}^{0}+\mathrm C_{n}^{1}+\cdots+\mathrm C_{n}^{n} 都是偶数

2012 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 是虚数单位，则“ab=0ab = 0”是“复数 a+bia + \frac{b}{\mathrm{i}} 为纯虚数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，i\mathrm{i} 是虚数单位，则“ab=0ab = 0”是“复数 a+bia + \frac{b}{\mathrm{i}} 为纯虚数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 陕西 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 M={y∣y=∣cos⁡2x−sin⁡2x∣,x∈R}M = \{y \mid y = |\cos^2 x - \sin^2 x|, x \in \mathbf{R}\}，N={x∣∣x−1i∣<2,x∈R}N = \left\{x \mid \left|x - \frac{1}{\mathrm{i}}\right| < \sqrt{2}, x \in \mathbf{R}\right\}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 M∩NM \cap N 为（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,1](0,1]
C.
[0,1)[0,1)
D.
[0,1][0,1]

2011 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
设集合 M={y∣y=∣cos⁡2x−sin⁡2x∣,x∈R}M = \{y \mid y = |\cos^2 x - \sin^2 x|, x \in \mathbf{R}\}，N={x∣∣xi∣<1, i 为虚数单位, x∈R}N = \left\{x \mid \left|\frac{x}{\mathrm{i}}\right| < 1,\ \mathrm{i}\text{ 为虚数单位},\ x \in \mathbf{R}\right\}，则 M∩NM \cap N 为（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,1](0,1]
C.
[0,1)[0,1)
D.
[0,1][0,1]

2011 · 陕西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
已知复数 z=3+i(1−3i)2z = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{(1 - \sqrt{3}\mathrm{i})^2}，z‾\overline{z} 是 zz 的共轭复数，则 z⋅z‾=z \cdot \overline{z} =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
已知复数 z=3+i(1−3i)2z = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{(1 - \sqrt{3}\mathrm{i})^2}，则 ∣z∣=|z| =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
设 aa，bb 为实数，若复数 1+2ia+bi=1+i\frac{1+2\mathrm{i}}{a+b\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}，则（ ）
A.
a=32a=\frac{3}{2}，b=12b=\frac{1}{2}
B.
a=3a=3，b=1b=1
C.
a=12a=\frac{1}{2}，b=32b=\frac{3}{2}
D.
a=1a=1，b=3b=3

2010 · 辽宁 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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05复数★★☆☆☆
对任意复数 z=x+yiz = x + y\mathrm{i}（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），i\mathrm{i} 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 z‾=x−yi\overline z=x-y\mathrm{i}，所以 z−z‾=2yiz-\overline z=2y\mathrm{i}，∣z−z‾∣=2∣y∣|z-\overline z|=2|y|. 选项 A 在 y<0y<0 时不成立. 又
z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyiz^2=(x+y\mathrm{i})^2=x^2-y^2+2xy\mathrm{i}
通常不等于 x2+y2x^2+y^2，故 B 错. 取 x=1x=1，y=0y=0，则 ∣z−z‾∣=0<2x|z-\overline z|=0<2x，故 C 错.
最后由复数模的三角不等式
∣z∣=∣x+yi∣⩽∣x∣+∣yi∣=∣x∣+∣y∣|z|=|x+y\mathrm{i}|\leqslant |x|+|y\mathrm{i}|=|x|+|y|
所以 D 正确，故选 D. \end{solution}
A.
∣z−z‾∣=2y|z - \overline{z}| = 2y
B.
z2=x2+y2z^2 = x^2 + y^2
C.
∣z−z‾∣⩾2x|z - \overline{z}| \geqslant 2x
D.
∣z∣⩽∣x∣+∣y∣|z|\leqslant |x| + |y|

2010 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 mm 和 nn，则复数 (m+ni)(n−mi)(m + n\mathrm{i})(n - m\mathrm{i}) 为实数的概率为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
14\frac{1}{4}
C.
16\frac{1}{6}
D.
112\frac{1}{12}

2009 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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