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19复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_1 满足 (z1−2)(1+i)=1−i(z_1 - 2)(1 + \mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），复数 z2z_2 的虚部为 2，且 z1⋅z2z_1 \cdot z_2 是实数，求 z2z_2.

2011 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_{1} 满足 (z1−2)(1+i)=1−i(z_{1} - 2)(1 + \mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），复数 z2z_{2} 的虚部为 2，且 z1⋅z2z_{1} \cdot z_{2} 是实数，求 z2z_{2}.

2011 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_{1} 满足 (1+i)z1=−1+5i(1 + \mathrm{i})z_{1} = -1 + 5\mathrm{i}，z2=a−2−iz_{2} = a - 2 - \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，a∈Ra \in \mathbf{R}，若 ∣z1−z2‾∣<∣z1∣\left|z_{1} - \overline{z_{2}}\right| < |z_{1}|，求 aa 的取值范围.

2004 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_{1} 满足 (1+i)z1=−1+5i(1 + \mathrm{i})z_{1} = -1 + 5\mathrm{i}，z2=a−2−iz_{2} = a - 2 - \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，a∈Ra \in \mathbf{R}，若 ∣z1−z2‾∣<∣z1∣\left|z_{1} - \overline{z_{2}}\right| < |z_{1}|，求 aa 的取值范围.

2004 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17复数★★☆☆☆
已知复数 z1=cos⁡θ−iz_{1} = \cos \theta - \mathrm{i}，z2=sin⁡θ+iz_{2} = \sin \theta + \mathrm{i}，求 ∣z1⋅z2∣|z_{1} \cdot z_{2}| 的最大值和最小值.

2003 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}，求实数 aa，bb 使 az+2bzˉ=(a+2z)2az + 2b\bar{z} = (a + 2z)^{2}.

2002 · 苏豫粤桂 · 第 17 题 · 解答题

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18复数★★☆☆☆
已知向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 所表示的复数 zz 满足 (z−2)i=1+i(z - 2)\mathrm{i} = 1 + \mathrm{i}，将 OZ→\overrightarrow{OZ} 绕原点 OO 按顺时针方向旋转 π4\frac{\pi}{4} 得 OZ′→\overrightarrow{OZ'}，设 OZ′→\overrightarrow{OZ'} 所表示的复数为 z′z'，求复数 z′+2iz' + \sqrt{2}\mathrm{i} 的辐角主值.

1998 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_{1} 满足 (z1−2)i=1+i(z_{1}-2)\mathrm{i}=1+\mathrm{i}，复数 z2z_{2} 的虚部为 22，且 z1⋅z2z_{1}\cdot z_{2} 是实数，求复数 z2z_{2} 的模.

1998 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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25复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_1，z2z_2 满足 ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1|=|z_2|=1，且 z1+z2=iz_1+z_2=\mathrm{i}. 求 z1z_1，z2z_2 的值.

1995 · 上海 · 文 · 第 25 题（A） · 解答题

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21复数★★☆☆☆
已知 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}.
(1) 设 ω=z2+3z‾−4\omega = z^2 + 3\overline{z} - 4，求 ω\omega 的三角形式； (2) 如果 z2+az+bz2−z+1=1−i\frac{z^{2}+az+b}{z^{2}-z+1}=1-\mathrm{i}，求实数 aa，bb 的值.

1994 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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24复数★★☆☆☆
已知 z∈Cz\in \mathbf{C}，解方程：zzˉ−3izˉ=1+3iz\bar{z}-3\mathrm{i}\bar{z}=1+3\mathrm{i}.
\begin{solution} 设 z=x+yiz=x+y\mathrm{i}，则 zˉ=x−yi\bar z=x-y\mathrm{i}，且 zzˉ=x2+y2z\bar z=x^2+y^2. 代入方程并整理实部、虚部，得 x2+y2−3y−3xi=1+3ix^2+y^2-3y-3x\mathrm{i}=1+3\mathrm{i}. 比较虚部得 −3x=3-3x=3，所以 x=−1x=-1；比较实部得 1+y2−3y=11+y^2-3y=1，即 y(y−3)=0y(y-3)=0. 因而 y=0y=0 或 y=3y=3，解为 z=−1z=-1 或 z=−1+3iz=-1+3\mathrm{i}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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22复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}，求复数 z2−3z+6z+1\frac{z^2-3z+6}{z+1} 的模和辐角的主值.
\begin{solution} 因为 z=1+iz=1+\mathrm{i}，所以 z2=2iz^2=2\mathrm{i}，从而 z2−3z+6=3−iz^2-3z+6=3-\mathrm{i}，且 z+1=2+iz+1=2+\mathrm{i}. 因此
z2−3z+6z+1=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−i\frac{z^2-3z+6}{z+1}=\frac{3-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=1-\mathrm{i}
故该复数的模为 2\sqrt2. 因为 1−i1-\mathrm{i} 对应的点在第四象限，且其辐角的主值取 [0,2π)[0,2\pi) 内的值，所以主值为 7π4\frac{7\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}，求复数 z2−3z+6z+1\frac{z^{2} - 3z + 6}{z + 1} 的模和辐角的主值.

1991 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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19复数★★☆☆☆
设复数 z=(1−3i)5z = \left(1 - \sqrt{3}\mathrm{i}\right)^5，求 zz 的模和辐角的主值.

1989 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (−1+i)20(-1+\mathrm{i})^{20} 展开式中第 1515 项的数值.

1982 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 解答题

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01复数★★☆☆☆
将多项式 x5y−9xy5x^{5}y - 9xy^{5} 分别在下列范围内分解因式：
(1) 有理数范围； (2) 实数范围； (3) 复数范围.

1980 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 解答题

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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
(1) 化简：(aa+b−a2a2+2ab+b2)÷(aa+b−a2a2−b2)\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2+2ab+b^2}\right)\div\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right). (2) 计算：12lg⁡25+lg⁡2−lg⁡0.1−log⁡29×log⁡32\frac{1}{2}\lg 25+\lg 2-\lg \sqrt{0.1}-\log_2 9\times\log_3 2. (3) −1=i\sqrt{-1}=\mathrm{i}，验算 i\mathrm{i} 是否方程 2x4+3x3−3x2+3x−5=02x^4+3x^3-3x^2+3x-5=0 的解. (4) 求证：sin⁡(π4+θ)sin⁡(π4−θ)+cos⁡(π4+θ)cos⁡(π4−θ)=2cos⁡2θ\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}+\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=\frac{2}{\cos 2\theta}.

1977 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 解答题

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07复数★★☆☆☆
求下列等式里的实数 xx 和 yy 的值：(3xi+2x)+(yi−4)=(2y+5i)−(3+xi)(3x\mathrm{i}+2x)+(y\mathrm{i}-4)=(2y+5\mathrm{i})-(3+x\mathrm{i}).

1977 · 安徽 · 文 · 第 7 题 · 解答题

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03复数★★☆☆☆
解方程 x4+1=0x^4+1=0；并且证明：平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.

1964 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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02复数★★☆☆☆
(1) 求出复数 1+3i1+\sqrt3\mathrm{i} 的模数和辐角. (2) 在直角坐标系 XOYXOY 所在的平面内，以 AA 点表示复数 1+3i1+\sqrt3\mathrm{i}，把 OAOA 绕着 OO 点按反时针方向旋转 150∘150^\circ，设 AA 点到达的位置为 BB，写出 BB 点所表示的复数的代数式.

1963 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (1−2i)5\left(1-2\mathrm{i}\right)^5 的实部.

1962 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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03复数★★☆☆☆
求
∣3−11246705∣\begin{vmatrix}3 & -1 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ 7 & 0 & 5 \end{vmatrix}
之值.

1953 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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