设
f(x)=alnx+2x1+23x+1，其中
a∈R，曲线
y=f(x) 在点
(1,f(1)) 处的切线垂直于
y 轴.
(1) 求
a 的值；
(2) 求函数
f(x) 的极值.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 函数的定义域为
x>0，且
f′(x)=xa−2x21+23
曲线在点
(1,f(1)) 处的切线垂直于
y 轴，所以该切线为水平切线，故
f′(1)=0. 因此
a−21+23=0，
a=−1\item 代入
a=−1，得
f′(x)=−x1−2x21+23=2x23x2−2x−1=2x2(3x+1)(x−1)
在定义域
x>0 内，
3x+1>0，
2x2>0，所以
f′(x)<0 当
0<x<1，
f′(x)>0 当
x>1. 于是
f(x) 在
(0,1) 上递减，在
(1,+∞) 上递增，故
x=1 为极小值点. 极小值为
f(1)=−ln1+21+23+1=3
函数没有最大值.
\end{enumerate}
\end{solution}
